Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
f(r,p) = HVe,f. (2-30)
g
где, как и в формуле (1.22),
j J^2e"u"rl2p2e"ig'rdr' (2-31>
причем интегрирование ведется по всему кристаллу.
Введем теперь в каждый член ряда множитель exp (ig'l) = 1. Тогда
^*2 у С е-| г_г |2Ра е_ ig.(r-i) _
8 V уя ^ J
= ^ 2 Р e_r2p2_ig<rdr_ (2.32)
v у л J
Действительно, все члены суммы здесь одинаковы: подынтегральные выражения
отличаются лишь выбором начала координат в различных точках I в
кристалле; интеграл быстро сходится, и все узлы эквивалентны.
Интеграл в формуле (2.32) легко вычислить. Он равен
f == * -ga/4p2> (2.33)
vc Р
Подставляя это выражение в формулы (2.29) и (2.30), находим соотношение,
известное в чистой математике как преобразование тэта-функции (в
математике оно обычно доказывается для простой кубической решетки; наш
результат более общий):
JL у e-|i-ri*p* = JEL V J- e-g2/4pVST. (2.34)
T/it ^ 1'с ^ Р3 к '
v i g
Рассмотрим теперь тождество
г- (2.35)
v о
Применяя его к левой части равенства (2.34), имеем
(2-36>
I I v о
§ 3. Решеточные суммы
57
Разобьем интервал интегрирования по переменной р на две части некоторой
произвольной точкой G и заменим подынтегральное выражение в первой части
в соответствии с равенством (2.34):
Здесь второе слагаемое содержит дополнительную функцию ошибок (erfc),
которая быстро стремится к нулю при больших значениях аргумента.
Задача заключается в том, чтобы выбрать такое значение G, при котором как
ряд по I, так и ряд по g быстро сходятся; легко видеть, что оба ряда
сходятся гораздо лучше, чем исходный ряд (2.36). Говоря "физически", дело
обстоит так, как если бы мы помещали заряд в точку г в два этапа. Сначала
мы образуем сферически симметричное гауссовское распределение заряда,
плотность которого на расстоянии z от центра пропорциональна exp (-G2z2).
Точечные заряды в узлах решетки на далеких расстояниях будут
взаимодействовать с таким заряженным облаком по законам электростатики,
что и приведет к первому слагаемому в (2.37). Затем мы уточняем наш
расчет, помещая точечный заряд в точку г и вычитая гауссовское
распределение заряда. Будучи нейтральным, такое образование на далеких
расстояниях взаимодействует с решеткой весьма слабо, однако дает
существенный вклад в быстро сходящуюся сумму по соседним узлам решетки.
Но на этом история еще не заканчивается, так как все слагаемые в
приведенной выше сумме положительны, а при г = О она содержит слагаемое,
связанное с влиянием заряда, помещенного в начале координат, на самого
себя. Это проявляется как расходимость в точке г = 0 слагаемого с I = 0
во второй сумме. Вычтем величину Иг из ряда в левой части равенства. Это
эквивалентно устранению первого члена в сумме по I в правой части и
замене его в пределе при г->-0 на
G
00
- erfc Gr -
Г
Gr
Таким образом,
1ф о
V 1 - я 1 ^ \Ц Vc G*
58
Гл. 2. Колебания решетки
Выражения (2.37) и (2.39) содержат еще одну сингулярность: расходится
член с g = 0. Однако, переходя к вычислению постоянной Маделунга (2.28),
мы вычитаем один ряд из другого, и эти сингулярности взаимно
уничтожаются. Это обстоятельство означает просто, что средний потенциал
каждой подрешетки, вычисляемый отдельно, был бы бесконечен, но полный
заряд всего кристалла равен нулю.
Таким образом, выполненное преобразование имеет и некоторый физический
смысл. Рассмотрим теперь более сложный случай. Пусть при данном колебании
решетки в каждом узле возникает дипольный момент
р(г) = ре{ч-г. (2.40)
Кулоновское поле, соответствующее распределению заряда в точке г, дается
простой формулой электростатики: оно представляет собой градиент
потенциала, созданного диполями
в (г) = V { S Р(Ч ¦ V (-^by) } - V (Р-V) { 2 -01} • <2-41)
I I
Получившаяся сумма по узлам решетки есть лишь несколько усложненный
вариант суммы (2.36). Эту сумму можно вычислить в точности так же, как мы
вычисляли выше для частного случая с вектором q = 0. В результате
получаем выражение ^ е'4'1 Я 1 ^*Uq+e> r,-lq+gl*/4G* ( ^
2 |?_Г| ~ vc G2 2 |q-|_g|2/4G2 +2|г_г1 \ Г1}'
I й I
(2.42)
которое можно дифференцировать почленно в соответствии с формулой (2.41).
Мы имеем здесь фактически те же формулы, что и при расчете коэффициентов
силового тензора (2.12), если принять, что между ионами действуют
кулоновские силы.
Рассмотрим вклад в электрическое поле от члена в первой сумме с вектором
g = 0:
E0(r) = -^e-"2/4G^q. (2.43)
За исключением множителя exp (-q2/4G2), это есть макроскопическое
электрическое поле Е (г), связанное с макроскопической волной поляризации
p(r) = pei(J-r (2.44)
в кристалле, рассматриваемом как сплошная среда. Таким образом, выражение
(2.41) можно переписать в виде
E(r) = E(r) + -^-(l~e-^G2)^q + 2 { }+2 { }• (2-45)
g=?0 I
§ 4. Удельная теплоемкость решетки
59
Мы не будем затруднять себя выписыванием всех членов в суммах по g и по
I, а просто заметим, что эти суммы быстро сходятся [исключая окрестность
точки г = 0, где можно воспользоваться приемом, примененным при выводе
формулы (2.39) для устранения собственной энергии диполя в начале
