Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 21

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 174 >> Следующая

однако, мы приближаемся к границе зоны Бриллюэна и возникает дисперсия.
При этом точный вид функции vq сильно усложняется. Вообще говоря, кривые
vq наклоняются так же, как и в линейном случае, но точка с горизонтальной
касательной может и не достигаться. Единственное правило состоит здесь в
том, что все корни vq должны быть непрерывными функциями вектора q в
обратном пространстве, периодическими с периодом обратной решетки. Это
следует из рассмотрения выражений (2.8) и (2.12). Как и в линейном
случае, если g есть вектор обратной решетки,
54
Гл. 2. Колебания решетки
то решения с волновым вектором q' = q + g тождественны решениям с
волновым вектором q. Таким образом, функция vq периодична с периодом g.
Эта функция непрерывна в q-пространстве, ибо она представляет собой
решение задачи на собственные значения, причем матрица соответствующих
уравнений симметрична, а коэффициенты суть непрерывные и периодические
функции вектора q.
Сказанное означает, что, когда мы продолжаем диаграмму типа фиг. 20, б за
пределы одной зоны, должна получиться картина, подобная изображенной на
фиг. 22. Такие диаграммы можно рассчитать, зная силовые постоянные, но
практически обычно определяют дисперсионные кривые для различных
направлений по данным о дифракции нейтронов или рентгеновских лучей (см.
§ 8 настоящей главы) и затем пытаются подобрать подходящие атомные
силовые постоянные.
В более сложном случае нескольких трехмерных решеток с базисом в
дополнение к описанным ветвям появляются еще поперечные и продольные
оптические колебания и отвечающие им дисперсионные кривые и поверхности
постоянной энергии. Все эти случаи в принципе охватываются нашим общим
уравнением (2.13).
Эквивалентность (в предельном случае длинных волн) нормальных колебаний
решетки и упругих волн в макроскопической сплошной среде открывает
удобный путь для установления связи между атомными силовыми постоянными,
с одной стороны, и наблюдаемыми упругими постоянными твердых тел - с
другой. Принципиально эта программа относительно проста, но практическое
осуществление ее может потребовать трудоемких расчетов.
Возникающие трудности обусловлены одной главной причиной. Мы легко увидим
ее, рассмотрев довольно часто встречающийся случай, когда межатомные силы
хорошо известны. Это случай ионных кристаллов, в которых связь возникает
главным образом благодаря кулоновским силам, действующим между
противоположно заряженными ионами. Полная электростатическая энергия
системы ионов, расположенных, скажем, в точках R*, дается выражением
причем выбор знака в (2.26) зависит от того, совпадают или нет знаки
зарядов, расположенных в точках R* и R;-.
Выражение (2.26) можно переписать в виде
§ 3. Решеточные суммы
(2.26)
(2.27)
§ 3. Решеточные суммы
55
где а - постоянная решетки и коэффициент а (безразмерный) зависит от
расположения положительных и отрицательных ионов в решетке. Этот
коэффициент, называемый постоянной Маде-лунга, представляет, таким
образом, известный интерес как параметр, характеризующий данный тип
кристаллической структуры безотносительно к размерам элементарной ячейки.
Пусть, например, ионный кристалл состоит из двух подрешеток (фиг. 23) -
подрешетки положительных ионов, расположенных в узлах I, и подрешетки
отрицательных ионов в узлах I + х. Тогда задача состоит в том, чтобы
вычислить сумму
а.
-2Ц
\1-
¦} (2.28)
(в первом члене исключается слагаемое с I = 0). Беда, однако, в том, что
отдельно первая и вторая суммы в правой части (2.28) расходятся: в
области радиуса I имеется по порядку величины Р слагаемых в каждой из
этих сумм.
Весь ряд в цйлом условно сходится, однако сходимость оказывается очень
медленной.
Задача о вычислении таких сумм весьма сложна. Самый лучший прямой метод
расчета был предложен Эвьеном. В этом методе рассматривается
последовательность расширяющихся оболочек с центром в начале координат,
причем каждая такая оболочка выбирается электрически нейтральной.
Рассмотренная только что трудность возникает не только при расчете
энергии связи. Мы встречаемся с ней и при вычислении величин типа,
например, (2.12) - фурье-образа тензора межатомных сил. Здесь вновь
имеется сумма по всем узлам решетки, и сходимость ее в случае кулоновских
сил оказывается медленной. Любая попытка рассчитать динамические свойства
решетки ионного кристалла наталкивается на ту же проблему.
Существует очень изящная процедура, известная как метод Эвальда, с
помощью которой указанную проблему можно решить. Возможно, это просто
трюк, а не один из основных методов в теории твердых тел, но этот трюк
столь красив, что ради него стоит несколько отступить от темы. Он
иллюстрирует также некоторые черты теории периодических функций в
решетке.
56
Гл. 2. Колебания решетки
Прежде всего рассмотрим функцию
2 у е_1г_Г|2р2==^(Г)р). (2.29)
Vя 7
Это есть периодическая функция г с периодом решетки. Следовательно, ее
можно разложить в ряд Фурье по образцу (1.15):
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed