Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 129

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 174 >> Следующая

s=l - оо
00
X ^ In ^1 -fexp ^ j ) cos 2лxs dx j dkz. (9.79)
о
Рассмотрим сначала интегралы вида
ос
^ In (1 + exp j) cos 2 nxs dx =
1
Г/0/^i"! f cos 2^8 rf0.n дЩ afo d%l
lJ [-e) dx J.T=0'1" J An*s4T lJ ye>> dx2 ^ dx dx J
(9.80)
in2s2kT _
0
356
Гл. 9. Поверхность Ферми
Мы воспользовались здесь тем обстоятельством, что
я 1п /л 1е(?-^)/М\
кТ ¦' ^--------,=/°("). (9-81)
где /° (g) - функция Ферми, определяемая соотношением (4.8), и дважды
проинтегрировали по частям. Интересуясь лишь осциллирующей частью
свободной энергии, мы не будем далее рассматривать первый член в (9.80).
Используя соотношение (9.61), получаем
%(х + y,}kz) = (х + у) /шн + / (kz), (9.82)
так что д%!дх = hсон и д2Ш!дх2 = 0. Как и раньше, нижний предел интеграла
можно положить равным -оо, так как наиболее существенный вклад в интёграл
дает область, лежащая вблизи уровня Ферми, где % = ?. Таким образом,
вклад в свободную энергию, даваемый этим слоем распределения Ферми,
пропорционален интегралу
ОО
h {kz) = j cos2nxs^?-dx. (9.83)
- oo
Хотя интеграл (9.83) формально имеет вид (4.13), его нельзя оценить с
помощью формулы (4.13), так как подынтегральное выражение слишком быстро
осциллирует внутри слоя вблизи поверхности Ферми. Но мы можем
использовать тот факт, что производная - dfldx имеет максимум в точке X,
где
Ш (X, кг) = ?, (9.84)
причем
Х = (9-85)
где Л (?, kz) - площадь поперечного сечения поверхности Ферми слоем kz.
Разложим интеграл относительно этой точки, вспоминая, что dfldx - четная
функция х:
00
1 С08М*+я^т1)-аГ*,=
- оо
оо
соз2я*Х { cos(^T=
Ясодг ^ / sch^ (?) /с2) \ f 2u^skTjhtiifj ^
4jiWC0S \ 7Н ) \ sh (2n*skT/haH) / ^
= -Z(s, kz) cos (9.86)
§ 7. Эффект де Гааза - ван Альфена
35?
В этот момент, по-видимому, следует остановиться и попытаться осмыслить
происходящее. Мы рассматриваем определенный слой на поверхности Ферми.
Уровень Ферми, определяемый объемом, охватываемым всей этой поверхностью,
не обязательно совпа-
а 5
Фиг. 170. а - поверхность Ферми не обязательно совпадает с уровнем
Ландау; б - при изменении магнитного поля уровни Ландау проходят
через уровень Ферми.
дает с одним из уровней Ландау. При изменении магнитного поля уровни
Ландау проходят через уровень Ферми, как указано на фиг. 170.
Пусть Т = 0, так что распределение Ферми представляет собой абсолютно
резкую "ступеньку". Что происходит, когда
W//////////////////A
Фиг. 171. Заполнение уровней Ландау при изменении магнитного поля.
уровень Ландау проходит через ?? Пусть, например, поле таково, что ?
лежит посередине между двумя уровнями Ландау (фиг. 171, а). Тогда число
состояний, лежащих ниже уровня Ферми, будет точно таким же, как в
отсутствие уровней Ландау, но полная энергия электронного газа будет
меньше, чем в отсутствие магнитного поля. В расчете на электрон,
расположенный на уровне Ферми, это уменьшение будет порядка V2 hwH. При
возрастании магнитного поля Н электроны будут подтягиваться к уровню
Ферми (фиг. 171, б), так что их свободная энергия возрастет до
358
Гл. 9. Поверхность Ферми
максимума. Но когда уровень Ландау проходит через уровень Ферми, он
начинает освобождаться (фиг. 171, в), и средняя энергия электронов снова
падает, достигая минимума, когда ? лежит посередине между двумя уровнями
Ландау. Таким образом, свободная энергия электронного газа регулярно
осциллирует с периодом, определяемым интервалом между двумя
последовательными совпадениями уровня Ландау с уровнем Ферми. В этом -
смысл выражения (9.86); период определяется из условия
scK*&, kz) = 2яя_ (9 87)
Большая часть вычислений от (9.74) до (9.81) представляла собой просто
рассмотрение осцилляций с помощью рядов Фурье, поскольку изменение
энергии при прохождении каждого уровня через поверхность Ферми не
описывается простой синусоидальной функцией. Это и объясняет появление
индекса s, приводящего к высшим гармоникам.
Мы учли также тот факт, что поверхность Ферми не является абсолютно
резкой при Т Ф- 0; действительно, осцилляции сглаживаются, если
кТ > Йан. (9.88)
Другими словами, магнитное поле должно быть достаточно сильным, чтобы
расстояние между орбитами было порядка толщины теплового слоя вблизи
поверхности Ферми.
Расчет, однако, еще не кончен. Полученное выражение относится к
поперечному сечению при данном значении kz; теперь надо просуммировать по
всем слоям. Мы имеем
оо ОО
F = 2кТ 2 ( !)s j К) cos(^ к^) dkz, (9.89)
S-1 - 00
Это интеграл типа Френеля; хорошо известно, что главный вклад
происходит от областей, в которых фаза стационарна. Пусть
= 0 (9.90)
при кг = А'0, Проведем разложение в окрестности этой точки, полагая kz =
fc0 + к'\
Л = Ай±^к'*А"а.. . (9.91)
(можно пренебречь изменением g (s, kz); кроме того, мы неявно
предполагаем, что каждая часть поверхности Ферми имеет центр
§ 7. Эффект де Гааза - ван Альфена
359
симметрии]. Таким образом, пользуясь стандартными свойствами интеграла
Френеля, мы получаем
ОО
5-1
ОО
X J COS {-g- (л ±4 • • • ) } dk' W
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed