Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
созданных электрическим полем в других точках орбиты, движущихся затем по
орбите под действием магнитного поля, причем их влияние затухает с
характерным временем релаксации т. В случае слабого поля затухание
происходит столь быстро, что наблюдается лишь небольшое отклонение
направления смещения от направления электрического поля, приводящее к
эффекту Холла [ср. (7.141)].
§ 3. Магнетосопротивление в сильных полях
337
Тензор проводимости можно вычислить теперь с помощью выражения] для тока
J=2j evkgkdk =
= БГ3Ш V(8'^H' <t>)wd%dknd<!>. (9.26)
Здесь при определении элемента площади па плоскости кн =
- const мы использовали формулы (9.7) и (9.8). Подставляя сюда
выражение (9.25) и пользуясь тем, что производная от функции Ферми сводит
трехмерный интеграл к интегралу по поверхности Ферми, находим для тензора
проводимости в декартовой системе координат
* 2л °°
а"р = 4лЗTJ j tof { ( \ ^(Ф' ^н)^(ф - Ф', &н) X
о о
-Ф7(о"т
X е
нхйфйф'} dkH. (9.27)
Это есть формула Шокли, содержащая так называемый интеграл по трубке, -
универсальная формула для тензора проводимости в магнитном поле.
Указанный выше явный вывод этой формулы "типа Кубо" [ср. (7.15)1
чрезвычайно прост, тем не менее она очень эффективна.
В слабых полях можно положить а>нт 1 и написать
ур(ф_ф') = 1,р(ф)_ф'|2-+..., (9.28)
поскольку экспоненциальный фактор ограничивает рост ф'. Очевидно, что,
как и в выражении (7.137), слагаемые в сгар, зависящие от магнитного поля
Н, связаны с тангенциальными (к орбите) производными от скоростей
электронов. В качестве упражнения полезно получить таким путем знакомые
формулы для свободных электронов.
В сильных полях, когда инт 1, можно использовать тот факт, что скорости
суть периодические функции ф и ф'. Область интегрирования по ф' от 0 до
оо можно разбить на участки, каждый длиной 2л. Таким образом,
ОО 2я
J е-ф'/анхf (ф') с1ф'= 21е~2пп/аях ^ е-ф7<0ят/ (ф')^'_
О гг О
2я
I - е 0
2л
юдт Г л-Ф'/(онт
2л J О
e-,p'anxf(ф')dф'. (9.29)
338
Гл. 9. Поверхность Ферми
При этом множитель сон в формуле (9.27) сокращается:
^ 2л 2л
{МФ)МФ-Ф>"Ф7"нТ^ф'}алн (9.30)
о о
(скорости, циклотронная масса и циклотронная частота, разумеется, зависят
от ки, но нет необходимости явно отражать здесь это обстоятельство).
Поскольку теперь область изменения ф' конечна, можно разложить экспоненту
в ряд
Л-Ф7шнт_| Ф' , I Ф' \2
0)НТ
Остальные функции в выражении (9.30) не зависят от (он, т. е. не зависят
от магнитного поля. Таким образом, подставляя разложение (9.31) в (9.30),
мы получаем разложение тензора проводимости по степеням 1 /Н.
Явные формулы для магнетосопротивления и эффекта Холла можно получить,
отождествляя должным образом первые неисчезающие члены разложения для
каждой из компонент тензора от. Направим магнитное поле по оси z, как это
обычно делается. Для главного члена с учетом определения (9.8) получаем
j vx{f)dV - 1 <"V (9.32)
Это выражение обращается в нуль при обходе по замкнутой орбяте.
Отсюда следует, что в разложении тензора стар будет отсутствовать член,
не зависящий от Н, если один из индексов а, р относится к оси,
расположенной в плоскости, перпендикулярной магнитному полю Н.
Следующий член разложения можно преобразовать так же, как в случае
(9.32), а затем проинтегрировать по частям:
2л 2л
\ф^х{ф-ф')Аф' = ^-ку(ф)-^Г Г ку{ф-ф')<1ф'. (9.33)
J Н Н v
0 0
Второй член в (9.33) обращается в нуль из-за того, что орбита имеет центр
симметрии. Однако первый член дает вклад в компоненту от, определяющую
эффект Холла; используя равенство (9.32), находим
* 2л
a"* = 4b"S* J 5 Vydkz =
о
= j kydkxdkz = ~HW j d(kz)dkz, (9.34)
где (kz) - площадь орбиты, расположенной в слое kz.
§ 3. М агнетосопр отивление в сильных полях
339
Интеграл в формуле (9.34) есть не что иное, как объем, заключенный внутри
поверхности Ферми, разбитой на слои. Другими словами,
= (9.35)
где п - число электронов, заключенных внутри поверхности Ферми. Тем самым
мы подтвердили справедливость соотношения (7.147 б) при очень сильных
магнитных полях для произвольной поверхности Ферми.
Рассмотрим теперь, что произойдет, • если мы имеем "дырочную"
поверхность. Пересмотрев внимательно весь проделанный только что вывод,
можно убедиться, что знак выражения (9.32) определяется направлением
обхода орбиты (фиг. 159). Таким образом, замкнутый объем дырок будет
давать в формуле (9.34) вклад противоположного знака. В общем случае
нужно напп-сать
аух = -^(Пе-Пн). (9.36)
Эго есть обобщение рас-суждений § 13 гл. 7; в сильных полях относительные
подвижности двух типов носителей не играют роли. Это, однако, справедливо
лишь до тех пор, пока мы имеем дело с замкнутыми изоэнергетическими
поверхностями электронов и дырок.
Возвращаясь к соотношениям (9.30) и (9.31), легко найти, что в формулах
для ахх и оуу члены порядка (1/юнт) обращаются в нуль; это можно без
труда проверить, используя соотношения (9.32) и (9.33). Чтобы найти
неисчезающую компоненту, надо перейти в (9.31) к следующему члену
