Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
возбуждении электрон может перейти в состояния, описываемые атомными
функциями <jf>j (г).
Пусть электрическое поле волны в окрестности атома есть
Е (() = Ех(е!^ + е-\^); (8.31)
мы пренебрегаем здесь пространственной зависимостью, содержащейся в общем
выражении (8.3). Пользуясь нестационарной теорией возмущений, можно
записать волновую функцию электрона в любой момент времени t в виде
г|)(г, t) = ф0е~^от_|_ ^ с.(,-) ф-er^itih ,?(8.32)
Величину еЕ-г мы рассматриваем как потенциал возмущения, действующий на
электрон. Подставив выражение (8.32) в нестационарное уравнение
Шредингера, помножив результат на ф0 и проинтегрировав по всему
пространству, легко доказать, что
294
Гл. 8. Оптические свойства
коэффициенты Cj, соответствующие возбужденным состояниям
с индексами /, приближенно удовлетворяют уравнению
j>*e'E(t)-T^0drei^i~'^^t/h. (8.33)
Решение его имеет вид t
Cj (t) = -J- J eExxj0 (ejwt + е~ш) e^i-^W^dt =
о
( A _A(h(H+CSj-<So)t/h л A( - h(tt + %j-<fQ)t/h ^
*"-(",-".) } ¦ №
где
exjQ | ф*ехф0с1г. (8.35)
Очевидно, это есть матричный элемент компоненты дипольного
момента электрона в направлении электрического вектора поля, взятый по
волновым функциям ф0 И фj.
Согласно обычной процедуре, принятой в учебниках по квантовой механике,
далее нужно было бы вычислить величину | с;- (t) |2 и показать, что она
очень быстро осциллирует, за исключением тех случаев, когда частота со
удовлетворяет условию
/ко = h(Oj =d (%j - g0). (8.36)
После этого нетрудно доказать, что будет происходить квантовый переход из
основного состояния фд в состояние с волновой функцией ф^, причем
вероятность перехода определяется квадратом модуля матричного элемента
(8.35).
Мы, однако, пойдем по другому пути и вычислим величину дипольного момента
атома в рассматриваемом нестационарном состоянии. На основании формул
(8.32) и (8.34) получим
(ex(t)) = j 1|з* (г, t) ехх|з (г, t)dv =
= 2 {ex<>ici W e~ia>jt + extoc*i (0 elb>jt} =
3
- в, 2 I ^ |4 {_i_ + _l_} (e...+ "-<".). (8.37)
j
Здесь не выписаны члены, которые быстро осциллируют и не находятся в фазе
с приложенным полем.
Таким образом, дипольный момент атома пропорционален полю. Определим
атомную поляризуемость формулой
= (8.з8)
j 1
§ 2. Дисперсия и поглощение
295
Чтобы выяснить, какого порядка эта величина, можно использовать правило
сумм Томаса -Райхе -Куна, являющееся
частным случаем теоремы (5.48). Оно гласит:
-^2^ К-12 = 1. (8.39)
д
Удобно ввести понятие силы осциллятора для перехода в /-е состояние:
fj = ^h <*j\x0j\*. (8.40)
Тогда выражение (8.38) можно записать в виде
<8-")
причем сумма чисел fj по всем у, т. е. по всем переходам из основного
состояния, равна единице.
Если теперь поместить N таких атомов в единичном объеме, то образуется
среда, вещественная часть диэлектрической проницаемости которой равна
в (со) = 1 + 4nTVa (со) - 1 -)- 2 • (8-42)
j
Строго говоря, следует различать найденную здесь поперечную
диэлектрическую проницаемость и диэлектрическую проницаемость для
продольно поляризованных волн электростатического поля, рассмотренную в
гл. 5. Однако в предельном случае длинных волн, т. е. в области обычной
"оптики", эти величины совпадают друг с другом. Действительно, эффекты
экранирования и поляризации атомов по своему характеру локальны и
определяются в основном величиной электрического поля в непосредственной
окрестности каждого иона или атома.
Выражение (8.42) представляет собой прототип дисперсионной формулы.
Интересно отметить, что оно сводится к результату, полученному в § 7 гл.
5. Когда электроны "свободны" в том смысле, что все частоты соравны нулю
и сумма сил осцилляторов /;- равна единице, плазменную частоту при
концентрации электронов N можно записать, согласно (5.53), в виде
2 4jiNe2 /0 /оч
(8.43)
В этом случае выражение (8.42) переходит в формулу (5.67), объясняющую
явление ультрафиолетовой прозрачности. Отметим, однако, что, облучая
вещество поперечно поляризованными фотонами, мы практически не можем
непосредственно возбудить продольно
296
Гл. 8. Оптические свойства
поляризованные плазменные колебания. Для наблюдения плазменных линий надо
возбудить электронный газ электронами высокой энергии или же ставить
опыты по просвечиванию тонких пленок, когда удается наблюдать
поверхностные плазменные колебания.
Однако в общем случае минимальное значение со;- соответствует оптической
или инфракрасной области частот и зависимость е от со оказывается более
сложной. В предельном случае низких частот мы получим статическую
диэлектрическую проницаемость, заметно превышающую единицу:
е(0)=1 + 2/^- <8-44)
i
Но значение е (0) не может быть очень велико, ибо для большинства твердых
тел плазменная частота сор по порядку величины сравнима с обычней
оптической частотой свободного атома.
В дальнейшем с увеличением со диэлектрическая проницаемость е (со)
возрастает, пока не возникает сингулярность при значении ю = o)j. Затем е
(со) принимает отрицательные значения в некоторой области частот и снова
