Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
. Os2 а
Ж(7.113)
где а - длина, по порядку величины равная постоянной решетки, D -
плотность. Таким образом, отбрасывая численные множители, получаем на
основании (7.110)
Ds3
а. (7.114)
Эта формула интересна тем, что, за исключением а, в нее входят только
макроскопические величины.
Правую часть (7.113) можно выразить также через температуру плавления;
аналогично (7.62) находим
А-^1га- (7-115>
Эти формулы разумно описывают характер зависимостей и порядок величины
эффекта; в частности, ясно видно, что теплопроводность решетки обратно
пропорциональна абсолютной температуре, даже если прочие множители
слишком грубы.
274
Гл. 7. Кинетические свойства
Тем не менее это верно только для высоких температур (выше дебаевской), и
фактическое положение вещей оказывается вовсе не таким простым, каким
выглядит. Дело в том, что "тепловые флуктуации плотности" по существу
есть то же самое, что и "фононы, переносящие тепло". Поэтому надо
рассматривать всю систему, явно вводя взаимодействие между фононами, как
в § 10 гл. 2.
При этом обнаруживается один весьма интересный результат, а именно: пусть
осуществляются только нормальные фонон-фонон-ные процессы, в которых
квазиимпульс сохраняется. Пусть, далее, каким-то образом создано
состояние, в котором фононные числа заполнения суть rcq; полный
квазиимпульс этого состояния равен
P=2reqAq. (7.116)
q
Но нормальные процессы рассеяния фононов на фононах не изменяют величины
Р. Поэтому любой полный поток тепла, соответствующий заданному значению
Р, не будет затухать, так что теплопроводность должна быть бесконечной.
Действительно, в образце происходит конвекция фононов. Точно так же, как
и в случае течения газа, столкновения между частицами приводят к обмену
импульсом между ними и в какой-то степени к установлению некоего
локального равновесия внутри газа; они не могут (если не учитывать
косвенного взаимодействия со стенками) замедлить суммарный перенос тепла.
При рассмотрении процесса теплопроводности в газе ситуация, конечно,
совершенно иная. Мы специально накладываем условие отсутствия суммарного
переноса частиц; при этом роль столкновений становится существенной, ибо
"горячие" частицы, движущиеся в одном направлении, могут передать свою
энергию "холодным" частицам, движущимся навстречу. Однако для газа
фононов закон сохранения полного числа "частиц" не имеет места, и поэтому
названное условие наложить нельзя. Любое число добавочных фононов, нужное
для переноса тепла, рождается у горячего конца, проходит к холодному
концу и там исчезает.
Теплопроводность кристалла оказывается конечной благодаря процессам
переброса. Так как в таких процессах квазиимпульс не сохраняется,
величина (7.116) не остается постоянной и поток тепла диссипирует.
Вычисление теплосопротивления в этом случае представляет собой довольно
сложную задачу, но конечный результат соответствует формулам (7.114) и
(7.115) при высоких температурах. Тем самым оправдывается и рассмотренный
ранее очень наивный расчет.
С другой стороны, при низких температурах сопротивление, обусловленное
фонон-фононными процессами переброса (фиг. 131),
§ 10. Теплопроводность решетки
275
очень быстро стремится к нулю. Напомним (см. § 2 гл. 2) геометрические
условия, которым должны подчиняться здесь волновые векторы:
q + q' = q" + g, (7.117)
а также условие для частот фононов:
V + v' = v".
(7.118)
Следовательно, вектор q" должен быть достаточно велик, чтобы энергия
соответствующего фонона равнялась сумме энергий фононов с волновыми
векторами q и q'. С другой стороны, сумма последних должна выходить за
границы первой зоны Бриллюэна, иначе мы не получим процесса переброса.
Таким образом, длина вектора q" не может быть намного меньше, чем g!2. В
модели Дебая это соответствует неравенству
(7.119)
в котором Р есть число порядка V2 или 2/а. Другими словами,
hv" ^ рА0. (7.120)
Вероятность осуществления процессов переброса типа (7.118)
пропорциональна произведению ния фононов
пяпя> " e-nv/kTe-hv'/hT
Зона Бриллюэна
Фиг. 131. Фонон-фононные процессы переброса.
соответствующих чисел заполне-
e-hV/hT е-ре/Ат
(7.121)
(последнее выражение справедливо при низких температурах). Эта величина
быстро стремится к нулю. Можно сказать, что рассеяние с перебросом
"вымораживается" и теплопроводность стремится к бесконечности, как
х ~ ТпеРв/Т,
(7.122)
где показатель степени п зависит от конкретных особенностей модели.
На самом деле при этом длина свободного пробега фононов: становится
сравнимой с размерами кристалла. Пусть рассматриваемый образец
представляет собой стержень диаметром D. Тогда в формуле (7.110) можно
положить
А = D
TSD,
(7.123)
(7.124)
276
Гл. 7. Кинетические свойства
так как удельная теплоемкость при низких температурах пропорциональна Т3
(§ 4 гл. 2). Этот размерный эффект действительно наблюдается на опыте.
Существуют, однако, и другие механизмы рассеяния фононов. Даже в
"идеальном" кристалле не все атомы эквивалентны: каждому химическому
