Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
называемые плакетыР нашей решётки (или, лучше сказать, их границы) -
отобразятся в классы [gap].
Теперь положим
5у. м. w. ({#*"}) = - Л- У % (gap), (1 -6)
2§0 р
где суммирование производится по всем ориентированным плакетам.
Оправданием такого определения служит тот факт, что
X (gop) = %(^) + ~Х (Vnv) + О (е6) (1.7)
для любого решёточного калибровочного поля, порождаемого (достаточно
гладким) непрерывным калибровочным полем.
Конечно, определение (1.6) никоим образом не является единственно
возможным: существует много других определений, которые формально имеют
тот же самый непрерывный предел. Однако важный вопрос заключается в том,
верно ли, что неформальный переход к непрерывному пределу не будет
зависеть от выбора решёточной аппроксимации. Как мы увидим ниже, в общем
случае ответ оказывается отрицательным. Мы будем в этом вопросе
придерживаться прагматической точки зрения и выбирать решёточное действие
из соображений удобства; последующий успех должен служить оправданием
такого выбора.
Заметим, что (1.6) не является даже однозначным определением, потому что
оно зависит от выбора характера %. Оказывается, эго тесно связано с
проблемой удержания. В стандартном случае, когда G = SU (N), мы будем
"настаивать" на использовании фундаментального представления, так как при
этом представление центра ZN получается точным. Любопытно, что для
формальной непрерывной теории это обстоятельство не имеет значения.
Однако непрерывный предел решёточной теории будет, по-видимому, сильно
зависеть от представления центра.
Мы хотим указать одно отличное от (1.6) определение действия, которое
предположительно имеет тот же самый непрерывный предел; назовем его
действием Виллэна - Полякова (ибо оно служит обобщением действия Виллэна
для модели плоских ротаторов [16]). Это определение было изучено Друффом
[ 17] 2>.
В оригинале plaquettes (франц.); буквально - небольшие металлические
пластинки. - Прим. ред.
2) Впервые потенциал взаимодействия типа логарифма 0-функции рассматривал
В. Л. Березинский (в модели плоских ротаторов; см. [3*]). Поляков
неоднократно использовал такой потенциал в других моделях. -¦ Прим. ред.
14
Ч. I. Решёточные калибровочные теории
Для компактной полупростой группы Ли G действие Виллэна- Полякова
задается формулой
Здесь суммирование производится по всем неэквивалентным (унитарным)
неприводимым представлениям Ux группы G, Хт (g) = tr Ux (g), dx = %x(i) и
Ct - собственное значение квадратичного оператора Казимира представления
т, т. е. если Х\, Хп - ортонормированный базис алгебры Ли g по отношению
к форме Киллинга k(X, У) = tr't/adj(X)t/adj(y), то
As - оператор Лапласа - Бельтрами по отношению к метрике Киллинга. Для
неполупростой группы G мы можем определить Sy. м. v. с помощью
произвольной инвариантной метрики на G и соответствующего этой метрике
уравнения теплопроводности.
Заметим, что формальный непрерывный предел имеет вид
р %
П
Ст= ~Ztrc/t№
i =1
I =1
является ядром
оператора уравнения теплопроводности
где
+ 0(е6)
Т
( Xadj(V.iv) ДЛЯ МаЛЬ1Х 81
е4 I So"adj
C^exp^-y-^i) XadJ^v для больших
1. Схема построения решёточных калибровочных теорий 15
где %adj обозначает след присоединенного представления, dads - ег0
размерность, С\ - наименьшее собственное значение оператора Казимира и d\
- размерность пространства соответствующего представления.
Сейчас вполне подходящий момент для того, чтобы ввести в нашу модель поля
материи. Их можно ввести двумя основными способами, а именно как
1) скалярные поля Хиггса,
2) спинорные поля (соответствующие кваркам и/или леп-тонам).
Поля Хиггса, равно как и спинорные поля, "живут" на узлах решётки; они
объединяются с калибровочными полями при помощи решёточного варианта
стандартного "минимального спаривания"; кроме того, поля Хиггса будут
некоторым подходящим образом взаимодействовать между собой. Во избежание
слишком длинных формул мы положим е=1; в случае необходимости легко
вставить е обратно.
Конфигурация решёточного поля Хиггса - это отображение узлов х решётки в
конечномерное унитарное (или эвклидово) векторное пространство Та 1}, в
котором действует некоторое унитарное (ортогональное) представление (Ун
калибровочной группы G:
Иногда мы будем требовать, чтобы значения ф лежали на сфере
фиксированного радиуса R в Тн, т. е. чтобы ||ф(х) || = R для всех х.
Решёточное действие Хиггса определяется так:
Здесь V - чётный полином степени ^4 е положительным старшим
коэффициентом, а первая сумма берется по всем ориентированным рёбрам
(ху}. Действие 5Н будет действительно "хиггсовым", если V будет иметь
глубокий минимум (абсолютный) в далекой от нуля точке.
Конфигурация решёточного спинорного поля - это отображение г|з множества
узлов решётки в подмножество множества ортонормированных реперов
некоторого фермионного векторного пространства Tf-
ф'. х\->ф(х)<^Ун.
(1-9)
X
Индекс Н - от Higgs. - Прим. ред.
10
Ч. 1. Решёточные калибровочные теории
