Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
резонанса. Пусть /0 есть то значение /, при котором выполняется условие
(Д4.10) при определенных числах (т, s). Тогда из (Д4.8), (Д4.9) и
результатов § 1.3 следует для ширины резонанса:
Д/ - шах | Г - /" | = 4 z\rmsj
dl
1'2
<да.и>
261
Физический смысл приведенных результатов заключается в следующем.
Траектория луча в отсутствие возмущения осциллирует вдоль оси х с
частотой &>(/). В окрестности резонансной частоты ю(/о) на это движение
накладывается дополнительная модуляция луча по г. Амплитуда модуляции
определяется выражепиями (Д4.11). Они же определяют и область локализации
луча в поперечной к ъ плоскости. Таким образом, вдоль траектории
невозмущенпого луча, соответствующего действию /о, образуется
дополнительный волноводный канал с эффективным размером Л/. Лучи,
захваченные этим каналом, совершают в нем колебания относительно
невозмущенной траектории с частотой Q. Э~о приводит, в свою очередь, к
периодической модуляции групповой скор< ;ти волнового поля.
4.2. Траектории луча при солитоноподобном профиле п(х). Рассмотрим в
качестве примера типичный случай, когда
"2(I)=n~+Ti?w (Д4-12)
где (I характеризует глубину соответствующей потенциальной ямы, а - ее
эффективную ширину. Подстановка (Д4.12) в (Д4.5) и (1.2.1) дает
Н0 + Л = W'
w(I) = (/"- 1)/[аг\По(1) |],
<о(0) = Шо = ц/ап(0). (Д4.13)
Решепня х и р удается легко представить как функции фазы О =ш(/)г+ Оо:
р = Р(1 - РУ'* sin 0/(coss О + р2 sin2 0)'\
х = a-arcsh ?-1- (1 - Р)1 2 cos (c)|, (Д4.14)
где обозначено
Р = [Я20(/)-пу12/ц. (Д4.15)
Заметим, что на сепаратрисе, определяющей границу волноводного канала,
I = Н0{1.) = -п.". Поэтому параметр jl определяет расстояние по
"эпергии" Е до сепаратрисы.
Если имеется возмущение в виде периодических отклонений оси волновода от
прямолинейной вдоль z, то в этом случае
n(x, z) = n(x - f(z)), (Д4.16)
где в качестве функции отклонений /(z) можно принять
/(г) = /о cos xz,
а 2я/х - пространственный период отклонений. Считая е = /о/а -С 1,
разложим (Д4.16) в ряд по е и ограничимся первыми двумя членамп:
nz(x - f (z)) " n2 (i) + / (z) dn .
ax
Отсюда, используя (Д4.3), возмущение в формуле (Д4.8) можно представить в
виде
8 dn2 (х)
еУ = 1W ~1Г- = -Pf w* (д4-17>
Приведенная выше информация достаточна для того, чтобы рассмотреть вопрос
об образовании стохастического слоя в окрестности сепаратрисы. Причиной
его появления является возмущение /(z). Путь здесь тот же, что и в § 5.1,
5.2. Резопансы между возмущением и основным движе-
262
нием луча возиикают, согласно (Д4.17), при условии (2т + 1 )а>(/) = ч,
так как импульс р в (Д4.14) разлагается в ряд Фурье по нечетным
гармоникам. При больших т расстояние между резонансами равно
Для ширины резонанса но действию и по частоте при ji-*-0 можно получить
[159]
Подстановка формул (Д4.18) и (Д4.19) в условие перекрытия резонансов К =
(Дш/бш)2 ^ 1 дает
Выражение (Д4.20) определяет границу ш стохастического слоя при К ~ 1:
Если начальное состояние луча таково, что его действие 1 лежит в области
(Д4.21), то это значит, что его движение в пространстве вдоль z носит
диффузионный характер. Диффузия луча приводит к тому, что он достигает
области вблизи невозмущенной сепаратрисы и "высвечивается" из волноводной
области. Таким образом, действие неоднородности как возмущения приводит к
уменьшению эффективной ширины волноводного канала. В область
стохастического слоя попадают моды колебаний поля с большими номерами.
Поэтому излучение поля из стохастического слоя означает также процесс
фильтрации высоких мод в волноводном канале
6а> = 2ш2/ч.
(Д4.18)
(Д4.19)
(Д4.20)
(Д4.21)
ЛИТЕРАТУРА
1. Зубарев Д. И. Неравновесная статистическая термодинамика.-М.:
Наука, 1971.
2. Гуров К. П. Основания кинетической теории.- М.: Наука, 1966.
3. Ахиезер А. И., Пелетмипский С. В. Методы статистической физики.-
М.: Наука, 1977.
4. Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую
механику,-М.: Мир, 1969.
5. Либо в Р. Введение в кинетическую теорию.- М.: Мир, 1974.
6. Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и
неидеальной плазмы.- М.: Наука, 1975.
7. Пригожий И. Неравновеспая статистическая механика.-М.: Мир, 1964.
8. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе
и теории чисел.- М.: ИЛ, 1963.
9. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике.- М., Мир, 1965.
10. Кац М. Несколько вероятпостных задач физики и математики.-М.,
Наука, 1967.
11. Улеибек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике.-М., Мир,
1965.
12. Балеску Р. Равповеспая и неравновесная статистическая механика,
т.т. 1, 2.- М., Мир, 1978.
13. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика.-М., Наука,
1979.
14. Заславский Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных
системах.-М., Наука, 1970.
15. Заславский Г. М., Чириков Б. В.- УФН, 1973, т. 101, с. 3.
16. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.- М.,
Наука, 1974.
17. Арнольд В. И. Диффереициальпые уравнения.-М., Наука, 1971.
