Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 97

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 .. 102 >> Следующая

Учтем теперь некоторым подходящим образом влияние других мод а& на
эволюцпю моды А. Согласно исходному уравнению для а* и (ДЗ.ЗО) можно
записать
4 = (Y + iw)4-6|4|24+ 2Fftftaftaft-ft' (Д3.35)
ft#ft* 0 0
где волновое число &о соответствует моде А. Домножение (Д3.35) на А* дает
/ = -2Re6/0(/-/0) + 2Re/4* 2 Vhk0*k\-k\ (ДЗ-Э6)
V k*k0 /
Будем теперь считать, что разность Y-Yc невелика и для мод а\, входящих
под знак суммы в (Д3.36), неустойчивость либо не развивается, либо
развивается достаточпо медленно. Тогда можно приближенно записать
Рассмотрим выражение
ОО О"
2 б (* - "Г) = у ^ ехР (2я?га//Г). (Д3.38)
П=-ао п=-оо
Отбросим в правой части (Д3.37) быстро осциллирующие члены, входящие в
сумму с к < А0, и будем считать зависимость и | ак |, | afe _fe | от fc
слабой. Предположим также, что возбуждено достаточно большое число
мод с к > к0. дисперсия которых doWrf/.- слаба. Тогда сравнение
(Д3.37)
с (Д3.38) дает
ОС
2 Vkk ahah -к ~ co,lst 2 б (" - пТ), (ДЗ.В9/
fc>ft0 0 0 п=-оо
где величина Г имеет следующий смысл:
2л <ia> ,
T~dkAk
(Ак - характерное расстояние между соседними волновыми числами
возбужденных мод а а). Подстановка (Д3.34) п (Д3.39) в (Д3.36) и
пренебрежение быстро осциллирующими членами в сумме (при к < к0) приводят
к модели (Д3.6).
Д4. Нелинейная динамика лучей
4.1. Уравнеипя для траектории луча. Звуковые волны в океане и атмосфере
и радиоволны в ионосфере могут распространяться на очень большие
расстояния. Причина этого явления заключается в том, что в
соответствующей среде существует немонотонная зависимость фазовой
скорости волны от некоторой координаты (например, от глубины в океане). В
результате возникает естественный волноводный канал, в котором
распространяется волна. Зачастую реальные параметры среды
таковы, что можно
воспользоваться приближением геометрической оптики. Поэтому
задача
о распространении волн в естественных средах может быть сведена к
соответствующей задаче о динамике лучей. На этом пути удается получить
ряд новых результатов и, в частности, определить условия возникновения
стохастической неустойчивости лучей [159].
Для описания траектории луча воспользуемся гамильтоновским формализмом.
Пусть ось z совпадает с осью волноводного канала, а координата г = (х, у)
лежит в поперечной к оси z плоскости. Тогда координаты луча (х, у, г)
удовлетворяют гамильтоновым уравнениям
дН • дН
Р ~ " дт ' г ~ др '
И = -[л2(г, z)-p*]'/2, (Д4.1)
где точка означает дифференцирование по z, а р - пмпульс, равный
р = иг/ (1 + г2)|/г, (Д4.2)
и = п (г, г) - показатель преломления. Представим п в впде
пг(г, z) = n2(r) + ev(t, z), (Д4.3)
где n(r) соответствует регулярному (однородному по г) случаю, а
возмущение zv учитывает влияние неоднородности. Величина е 1 -
безразмерный параметр возмущения. Благодаря его малостп можно записать И
в виде
ff = ff0(r, p)+eF(r,p,z),
Яо(г, р) =-[л*(г)-р*Г'*,
V(r, р, г) = i>(r, г)/2Яо. (Д4.4)
260
Невозмущенное движение луча определяется гаиильтоыиаыои Н0. Таким
образом, задача о траектории луча в неоднородном случае сводится к
эквивалентной задаче о действии нестационарного возмущения на частицу,
совершающую фииитиое движение, описываемое гамильтонианом Но. Роль
времени при этом играет переменная г, неоднородность вдоль которой и
создает возмущение.
Наиболее простым является плоский случай, когда п не зависит от у.
Уравнения (Д4.1), (Д4.4) переходят в следующие:
dll ¦ ОН
Г = -д1' X=W' ,J^Px'
H=H0+bV(x, р, z), Но = -["*(*) -Рг)\ (Д4.5)
Опишем сначала невозмущенное движение луча. Пусть значение определяет
соответствующие асимптотики п(х) при х±оо и п(х) имеет простой вид горба
с одним максимумом. Тогда Но определяет движение в простой потенциальной
яме и финитным периодическим траекториям соответствуют лучи,
распространяющиеся в естественном волноводном канале. Можно говорить о
динамике эквивалентной релятивистской частицы, описываемой уравнениями
(Д4.5).
Пусть Е - энергия эквивалентной частицы, соответствующая значению
интеграла движения Н0(х, р) - Е. Тогда из (Д4.5) следует, что на
сепаратрисе Е = -и"о = Е" В области фпнитиого движения
-л(О) <Е< -п., (Д4.6)
а в области инфшштного движения -пм < Е < 0. Введем в области (Д4.6), где
движение является периодическим, перемепные действие - угол (/, 0) по
формулам (1.2.1). полагая в них
р= ["*(,) -Ег}\ (Д4.7)
Используя перемениые (/, О), перепишем уравнения движения (Д4.5) в виде
Н=Но(1) + tV(l, 0, "),
/ = -е§?, Ь=о>(/) + е|j. (Д4.8)
Будем интересоваться случаем периодического по г потенциала возмущения V.
Тогда
00
V (/, ft, z) = -L 2 Vm" W ехР (imi* + + к< c" ^4-9^
m,"=-oo
где x - "частота" возмущения (2л/и - пространственный период
возму-
щения).
Из уравнений (Д4.8) и (Д4.9) видно, что наиболее сильное влияние воз-
мущеппя происходит в резонансном случае, т. е. при выполнении условия
та (/) + sx = 0. (Д4.10)
Мы пришли к случаю нелинейного резонанса, подробно рассмотренного в
§ 1.3. Приведем сразу результат для движения луча в окрестности одного
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed