Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
2 Т
т= = 1п (К/Г)' (Д3.19)
3.5. Размерность странного аттрактора. Для анализа различных множеств,
устроенных каким-либо "нестандартным" способом, можно воспользоваться
понятием размерности, введенным Хаусдорфом. Пусть интересующее нас
множество погружено в пространство большей размерности S. Будем покрывать
множество S-мерными кубами со стороной I. Обозначим через п(1) число
таких кубов, покрывающих все множество. Тогда размерность множества равна
, 1( In и (Z) ПЛ1
ЙЕЛЩ' (Д )
Величина d <S и, вообще говоря, дробная.
Рассмотрим теперь отображение (Д3.8). Построим для него якобиеву матрицу
* (*п* Уп) =
дхп+1 ^хп+1
д_хп dJn д~Уп+1 flw+1
(Д3.21)
дхп дУп Найдем множители Ляпунова из уравнения
|*(*", ?")-*"|-й (Д3-22)
Из (Д3.21) следует, что
\3'(*П'УП)\ = *-Г = КК (Д3-23)
и пе зависит от п. Из (Д3.22) при больших К\ь следует, что
Я+ ~ Кц, Я- ~ e~r/K\i. (Д3.24)
Соотношения (Д3.24) применимы всюду, за исключением островков
устойчивости, т. е. областей, где sin 2ях меньше, чем 1/Яр. Из (Д3.24)
видно, что А.+ определяет коэффициент растяжения в одном направлении, а
Х~ - коэффициент сжатия в другом направлении.
При постоянных значениях (т. е. не зависящих от п) размер-
ность d равна [207, 208]
(ДЗ•25,
Формулу (Д3.25) можпо попять из следующих простых соображений. Будем
покрывать малыми квадратами со стороной I точки траектории системы,
порождаемые отображением. Тогда растяжение фазового объема с
коэффициентом Л+ приводит к тому, что на m-м шаге
n(l) = const (Л+)т.
Действие сжатия с коэффициентом Л~ приводит к тому, что точки множества
попадают в квадрат со все более малой стороной
I = const(A~)m.
В пределе /->-0 (т -*• оо) формула (Д3.20) приводит к выражению (Д3.25).
*) Следует замепить О = 2лх и сделать сдвиг в * на константу 1/4. 17 г.
М. Заславский 257
Однако в случае отображения (Д3.8) характеристические числа X* зависят от
номера п шага отображения. В [207] для этого случая была предложена
формула (Д3.25), в которой
Л± = lim I Ф ± ... Х± |1/т. (Д3.26)
т-" оо
Этот результат был с большой точностью подтверждай в работе [208] путем
численного анализа. Можно понять полученный результат следующим образом.
Вследствие быстрого переыешпванпя выражение (Д3.26) быстро
самоусредиястся (см. ниже), т. е. стремится к неслучайному и,
следовательно, постоянному пределу, не зависящему от шага отображения.
Приведем соответствующие вычислеппя [209]. Имеем из (Д3.26)
т
Л* = lim ехр - V In I it I = ехр <1п| А* |>, (Д3.27)
т-ас т н 1
т
Ь=1
где
</ Ш> = j / (Я. (X, //)) р (х, и) dx dy
и р(х, у) -стационарная функция распределепия на странном аттракторе.
Подстановка (Д3.27) в (Д3.25) дает
л 1 <llU+> , , <1°Я + > . , * , _L_ ,по2Я1
<ln = Г + <1п Х+> = _^ Г + А - Г + А' (ДЗ-28>
где введена энтропия А = <1п Х+>. При малых значениях Г размерность
странного аттрактора близка к 2:
Г Г Г
dm 2 - h ~2-lnA: = 2-^,
где h0 - la К - эитропия Колмогорова для отображения (Д3.10) при Г = 0.
3.6. Связь модели с проблемой возникновения турбулентности. Спстема типа
(Д3.6) может возникнуть в результате некоторой сильной идеализации задачи
о возникновении турбулентности. Качественные соображения, приводящие к
ней, следующие [204].
Пусть а (г, t) есть вектор состояния, удовлетворяющий гидродинамическим
уравнениям движения и граничным условиям. Разложим а (г, t) в ряд Фурье:
о (г, t) = 2"ft(4)exp (ikr) ft
и запишем уравнения движения в виде "й = +2 vkh.%ah-h'
1 1 1
где диссипация ч*, частоты ю* и матричный элемент определяются
непосредственно из исходных уравнений движения.
Предположим теперь временно, что возбуждается одна неустойчивая мода с
комплексной амплитудой А. На малых временах можно паппсать
А = г4 + "оЛ, (Д3.29)
где ч > 0, а индекс волнового числа для простоты опущен. Ландау [210]
описал качественно переход от непериодического движения к периодическому
следующим образом. С ростом времени нарастает амплитуда | А |, п в
258
выражении (Д3.29) следует учесть следующие члены разложения по |4|. Это
приводит к уравнению
4 = (7+iw)4 - 6|4|*4, (Д3.30)
или
|-|4|2 = 2у|4|2-2ПебИ|4. (Д3.31)
Стационарному состоянию соответствует при Re б > 0 значение
/о = |40|2 = Tf/iReS.
В окрестности этого значения уравнение (Д3.31) можпо переписать в виде 7
= - 2Re67о(/-70), /в \А\\ (Д3.32)
где переменную 7 будем называть действием. Уравнение (Д3.32) может быть
дополнено уравнением для фазы:
*-(r)(7), (ДЗ.ЗЗ)
где ш(7)-частота колебаний выделенной моды, в которой также должны быть
учтены пелиненные поправки в виде разложения по степеням 7. Конкретпое
выражение может быть получено из (ДЗ.ЗО), если в нем положить
4 = |4|е'<\ (Д3.34)
Уравненпе (Д3.32) описывает движение в окрестности устойчивого
предельного цикла, которому соответствует значение /о. В обычной ситуации
j ~ (У - Ус)7', где Уе - характерное критическое число задачи.
Уравненпе (Д3.31) не содержит осциллирующих членов и появляется в
результате некоторой процедуры сглаживания движения выделенной моды А.
