Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
объем капли) сохраняется, и поэтому через некоторое время фазовый объем
покрывается с некоторой конечной плотпостью
*) Обзор разных моделей возникновения стохастнчпости в системах типа
модели Лоренца а близких к ним содержится в работах [197, 198].
250
слоем фазовой жидкости. Его размерпость равна размерности фазового
пространства.
В диссипативных системах дело обстоит иначе. В фазовом пространстве
имеется некоторое предельное и инвариантное множество состояний, к
которым притягиваются все траектории фазовой капли. Поэтому
асимптотически при t оо движение системы происходит на этом предельном
множестве. Хаотическое движение в диссипативных системах также
реализуется на этом множестве, которое имеет хаусдорфову размерность,
меньшую чем размерность всего фазового пространства (подробнее об этом
см. ниже). Это предельное нритягивающее множество, возникающее при
стохастическом движении диссипативных систем, было названо "странным
аттрактором" [202]. В гамильтоновом случае имеет место некоторая
предельная ситуация, в которой странным аттрактором является все фазовое
пространство (это будет доказано позже).
Проведем апалпз условий возникновения и свойств странного аттрактора на
примере одного класса задач, возникающих в теории колебаний [203, 2041.
3.3. Модель странного аттрактора. В § 4.1 рассматривалось универсальное
отображение, возникающее в физических задачах гамильтонова типа. В
переменных действие - угол опо порождается гамильтонианом (4.1.4):
ОО
Я = Я0(/)+еИ/.О) 2 в ("-И1) (Д3.1)
Ь=-оо
и приводит к уравнениям движения (4.1.5):
/ = " = <в(Ц +гдУ^ f(t), (Д3.2)
где
dH,
ш
fc=-оо
В целях упрощения исследования пусть V = V(#) и не зависит от /. Тогда из
(Д3.2) следует
i = _e^')/(i), ?=(о(/), (ДЗ.З)
или эти же уравнения в форме отображения
1 = 1-г^^Т, Ъ = Ь + <о{7)Т (Д3.4)
(сравните с формулой (4.1.7)). Введем теперь диссипативный член в систему
(Д3.1). Будем считать, что система с гамильтонианом Но(1) имеет
устойчивый предельный цикл при / = /о. Это означает, что если бы
возмущение отсутствовало, то нмели бы место уравнения движения
/ = _т (/_/"), t>=,(o(/), (Д3.5)
где y - диссипативный коэффициент.
Рассмотрим теперь объединение уравнений (ДЗ.З) и (Д3.5):
/ = -7(/-/0)-е^^/(0. Ъ = (о(1), (Д3.6)
которое описывает действие внешнего возмущения на систему, имеющую
устойчивый (притягивающий) предельный цикл в отсутствие возмущения в
точке I = /о.
251
Функция V(i)) периодически зависят от О. Поэтому выберем ее в простейшем
виде (см. § 4.1):
V(Q) = (/о/Г) cos Ь,
где множитель /о/Г определяет размерность V, а абсолютная величина V
определяется безразмерным параметром е. Также для упрощения пусть ш(/)
является липейноп функцией /, т. е.
ю (/) = ю0
К-?)-
где величина а, как и в § 4.1, имеет смысл безразмерного параметра
нелинейности (см. формулу (4.1.11)).
Введем следующие оезразмерпые величины:
Й = о>07\ Г = уГ. (Д3-7>
Теперь систему (Д3.6) можно проинтегрировать на интервале времени Т и
представить в виде отображения
У = е_Г (^ + 6 cos 2ят), (Д3.8)
- 1 1
* = ar+2jjQ(l + ацу) + ^ Л'ц cos 2пх, mod 1,
где переменные (я, у) берутся в момент времени, непосредственно
предшествующий действию 6-функции в /(f). а (х, у) образуются из (х, у)
путем действия оператора сдвига на интервал времени Г. В системе (Д3.8)
обозначено
1 - е~г
К - eoiQ, ц = -j?-. (Д^.У)
Фактор |i учитывает диссипацию. При Г = 0 имеем ц=з1 и система (Д3.8)
переходит в гамильтонову:
j/ = г/ + е cos 2лх, (Д310)
* = х + 2^ Q (1 + ау) + 2^ К cos 2лх, mod 1
(сравните (Д3.10) с уравнениями (4.1.9)).
Исследование системы (Д3.8) можно провести аналогично тону, как это
делалось в § 4.1. Будем считать, что
е < 1, а < 1.
Тогда при К с 1 (это означает также, что K\i с 1, так как ц, ^ 1)
движение системы (Д3.8) является устойчивым и никаких аномалий не
содержит. Однако при
Кц " 1 (Д3.11)
из (Д3.9) следует
|6*/6ж -1| ~ ?ц|зт2лх| > 1 (Д3.12)
и возникает локальная неустойчивость, приводящая к быстрому переме-*
шиванию по фазовой перемеппой * всюду, за исключением малых областей в
окрестности точек
*<'>=0, *(J) = l/2. (Д3.13)
Обратим внимание на то, что при Г = 0 условие стохвс'шчности (Д3.11)
переходит в обычное: К 1. Это же условие, очевидно, сохраняется при малых
Г. При Г > 1 из определения (Д3.9) следует, что условие (Д3.11)
252
переходит в следующее:
К/Г > 1. (Д3.14)
Таким образом, для границы стохастичности можно принять
Хц ~ 1. (Д3.15)
или, при Г 1,
К~ Г. (Д3.16)
Условия (Д3.15), (Д3.16) определяют границу стохастичности в рассматри-
лаемом диссипативном случае.
0,005-
S
~0,00х-л___________________________I________________________l_
Dfi 0,5 x !,0
Д3.1. Странный аттрактор при Г = 5; a = 0,3; е *= 03; К - 9,03.
Д3.2. Развитие локальной неустойчивости в том же случае, что и на рис.
Д3.1.
Числсыиый аиалаз [203, 2041 подтверждает критерий (Д3.14), а множество
точек отображения (Д3.8) на одной траектории имеет типичный для странного
