Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
совершать диффузионное движение сколь угодно далеко от своего
невозмущенного движения. Это и есть диффузия Арнольда.
Оценим время диффузии iD. Имеем для коэффициента диффузии в пространстве
энергий:
где АН определяется формулой (Д2.6), а т - характерное время, на котором
энергия изменяется на величину АН. Это время является очень неоднородным
внутрп стохастического слоя, и для него можно принять некото-рое
усредненное зняченив т /v I/O, т. е. период фазовых колебаний. С уче-
Величина тd является экпоненциалыю большой. Она определяет время потери
устойчивости. В действительности оценка (Д2.9) является очень грубой. В
пен отсутствует, в частности, зависимость от числа степеней свободы
системы N. Нехорошевым был получен следующий результат [199]:
Очень важной особенностью результата Нехорошева (Д2.10), (Д2.11) является
зависимость показателя а от N. С ростом N величина а становится очепь
малой и время неустойчивости тс существенно уменьшается.
Различные примеры качественных п численных оценок и физических приложений
диффузии Арпольда содержатся в обзоре [25].
AHjНе ~ е ехр (-2я/в1'*).
(Д2.6)
зия, которые находятся из уравне-
При N ^ 3 резонансные торы не делят фазовое пространство (§ 1.4). Поэтому
резонансные многообра-
ния
D~H\l id~(AII)2!i,
(Д2.7)
(Д2.8)
Подставляя (Д2.6) и (Д2.8) в (Д2.7), паходим 1 1 2я
(Д2.9)
(Д2.10)
где
(Д2.11)
*) Прп отсутствии перекрытия рсзопансов.
249
ДЗ. Стохастичность и диссипативных
динамических системах
3.1. Стохастичность и турбулентность. Во псом тексте монографии
существенно использовалось свойство гамильтоповости рассмотренных
динамических систем. Это означало, что фазовый объем системы сохраняется
и процессе ее движения. Перемешивающееся в фазовом пространстве, или
стохастическое движение обозначалось одновременно турбулентностью
движения в фазовом пространстве. При анализе возникновения стохастичности
в континуальных системах типа взаимодействующих волн переход к
перемешиванию означает также переход и к турбулентному движению в
пространстве координат системы.
Следует заметить, что понятне турбулентности всегда использовалось для
определенных форм движения диссипативных сред. Поэтому полезно
остановиться более подробно на связп между явлениями стохастичности и
турбулентности.
Пусть, например, гидродинамическое движение описывается, кроме
динамических переменных, еще некоторым значением характерного
безразмерного параметра ). Роль такого параметра может играть число
Рейнольдса, число Рэлея и др. Может оказаться, что при малых значениях У
соответствующая динамика сплошной среды является устойчивой. Однако
увеличение параметра У приводит при У> У> к неустойчивости и к появлению
нового типа движения, которое в свою очередь устойчиво прп малых
значениях Y - У, > 0. Вообще говоря, гидродинамические системы могут
иметь последовательность чисел l'i, У2, ..., при которых происходит
качественное изменение динамики (этн изменения называют бифуркациями).
Последовательность бифуркаций заканчивается движением нерегулярного,
хаотического типа при У> Ус, причем обычно Гс > У], У г, ... Такое
движение является турбулентным. Различные примеры его содержатся в
монографии [196].
Условие перехода от устойчивого, ламинарного движения к турбулентному, по
существу, есть условие возникновения стохастичности, или перемешивания в
фазовом пространстве. Специфика появления турбулентности в
гидродинамической среде обусловлена диссипативным характером уравнений
движепия. Динамическая система теперь не является гамильтоновой, н
фазовый объем не сохраняется со временем. Тем не менее формальные методы
символической динамики позволяют многие вопросы, связанные с
вознпкповением хаоса, изучать вне связи со свойством сохранения фазового
объема в процессе движения. Это возможно сделать также и с помощью менее
строгих методов, аналогичных описанным в гл. 2-4.
3.2. Странные аттракторы. Первые простейшие модели (см. гл. 2), в
которых исследовались условия появления стохастичности, уже были пе
гамильтоновыми. Однако наиболее интенсивное изучение диссипативных систем
началось после работы Лоренца [200]. Работа была посвящена анализу
возникновения турбулентности в процессе термоконвекции в так называемом
конечномерном приближении *). Численный анализ, проведенный Лоренцем,
показал, что при некоторых условиях в модели возникает хаос. Как и
полагается, переход к нему (т. е. к турбулентности) происходит через ряд
бифуркаций решения (их исследование см. в [201]). Однако, если можно так
выразиться, хаос имеет весьма необычную структуру. Опишем ее следующим
образом.
Рассмотрим сначала гамильтонов случай. Пусть изучаемая система совершает
движение с перемешиванием. Рассмотрим жидкую каплю в фазовом
пространстве, имеющую конечный фазовый объем н состоящую из Множества
точек, принадлежащих различным состояниям системы. В процессе движения
капля растекается по всему допустимому фазовому объему. Мера (начальный
