Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
стичности (Д1.6) или (Д1.8). Тогда малые изменения V можно описать с
помощью уравнения диффузии Колмогорова:
дю (ф, t) _
dt
246
где ДФ - изменение О на один шаг отображения, a At -интервал времени
между двумя последовательными отображениями. Кроме того, функция w должна
удовлетворять граничному условию
ш(-я/2, t) = w (я/2, {)• (Д1.Ю)
Из уравнения (Д1.4) имеем
АО = К+1 -0" = -2х'(?) = -8± (1- 21), где индекс п при ?" опущен для
простоты записи. Из рис. Д1.5 следует, что
A1=i(lt^ni+|tgon+ii)"
где v - скорость частицы и при Ф" также опущен индекс п. Поскольку
распределение по ? является равномерным на интервале (0, 1), то с
точностью до членов второго порядка малости по %' имеем
\ _ 32 b2v i
\Д'/ 3 Л einV
/ (Aft2) \ _ 64 b2v __1__ (Д1Л1)
\ Д< / 3 аН |tg" I
Эти же соотношения могут быть получены непосредственно из (Д1.3).
Формулы. (Д.1.11) показывают, что выполняется принцип детального
равновесия
/?\-4>steps. <Д1.12>
\ Д< / 2 дЬ \ д< /
Таким образом, уравнение (Д1.9) переходит с учетом (Д1.11) и (Д1.12) в
следующее:
иг-тА^й' <Д1-13>
где коэффициент дпффузии D(b) равен
*<*>=? ТГГПГаГ (Д1Л4)
3 аГ1 |tg"l
Из (Д1.14) следует, что характерное время установления равновесного
распределения ш(Ф) равно
<д,л5>
Распределение iy(0) легко находится из (Д1.13):
¦"''-ЖТ1'"(tm)5*1 |Дмв>
и удовлетворяет условию нормировки
Я/*
[ w (О) db = 1
-Я/2
и граничному условию (Д1.10).
247
Д2. Диффузия Арнольда
Арнольдом [35] была обнаружена универсальная неустойчивость, присущая
системам с числом степеней свободы N Понятне универсальности означает,
что неустойчивость имеет место в произвольной нелинейной системе общего
положения*). Понятне неустойчивости означает следующее. Пусть система
имеет гамильтопиан
Н = //0(/,.....Is) + eV(/lt О,; ...; /д-, <Ы (Д2.1)
и е < 1. При е = 0 система (Д2.1) - интегрируемая н действия /,, ..1у -
интегралы двпжепия. Если неравенство
|/(<) -/(0)| < 1 (Д2.2)
для ^V-мерного вектора /(0, являющегося решением возмущенной системы
(Д2.1), справедливо для времени t < td. то систему (Д2.1) будем называть
устойчивой в течение времени То. В случае неустойчивости, описанной
Арнольдом, неравенство (Д2.2) ие выполняется для достаточно больших t.
Понятие диффузии используется постольку, поскольку неустойчивость носит
стохастический характер.
Явление диффузии Арнольда подробно описано Нехорошевыы [199] (строгие
результаты) и Чириковым [24, 25] (качественные ц численные результаты).
Здесь будут приведены лишь некоторые качественные понятия о диффузии
Арнольда.
Пусть N = 2. Нелинейный резоианс между двумя степенями свободы описан в §
1.3. Условие резонанса имеет вид (см. формулу (1.3.17))
-f- Fl2(r)2 -- 0, (Д2-3)
где пь П2 - положительные и отрицательные целые числа. Частоты (i>i и ш:
являются функциями действий Ii и /2. Удобно вместо системы координат (/i,
Ii) использовать переменные (o>i, шг). Тогда резонапсные условия (Д2.3)
обозначают семейство прямых (рис. Д2.1). Поверхность постоянной энергии
пересекает эти прямые и отбирает резонансные точки. Движение в
окрестности этих точек по поверхности Н = const описывается уравнениями
нелинейного резонанса с эффективным гамильтонианом П (см. формулу
(1.3.18)).
Каждый нелинейный резонанс имеет сепаратрису, которая разрушается
(стохастически) любым возмущением, в том числе и отброшенными не-
резонанснымп членами (см. §§ 5.1, 5.3). Это означает также, что
резонапспые торы (ин соответствуют точки на рис. Д2.1) при их разрушении
"одеваются" стохастическим слоем. Ширина слоя в том случае, когда
возмущением являются нерезонапсные члены, равна (см. формулу (5.1.18))
ЛЯ/Яс ~ е ехр (-nv/ft) (v " ft), (Д2.4)
где v - частота внешпего возмущения, ft -
SO 1 Рваоияисм шш частота малых колебаний возмущаемого дви-
_J 2 v жения.
В данном случае речь идет о разрушении нелинейного резопанса,
порождаемого эффективным гамильтонианом Н. Частота малых колебаний для П
равна частоте фазовых колебаний Q и определяется формулой (1.3.13) при а
~ 1:
ft ~ щг\ (Д2.5)
*) Естественно, что здесь и далее под произвольной системой понимается
любая динамическая система, за исключением множества некоторых
вырождепиых случаев.
248
где ш0 -частота колебаний певозмущенного движения всей системы с
гамильтонианом Но. Нерезонансное возмущение имеет частоту ~2шо, т. е. v ~
2шо. Подставляя это выражение и (Д2.5) в (Д2.4), получаем
Однако при N = 2 торы делят фазовое пространство (§ 1.4), и поэтому
разрушенные торы отделены друг от друга устойчивыми торами. Это означает,
что неравенство (Д2.2) выполняется для любых (, т. е. имеет место вечная
устойчивость *).
сложным образом пересекаются
(рис. Д2.2). Им соответствуют пере- Д2.2. Резонансные кривые на
иссекающиеся резонансные торы в фа- верхности постоянной энергии (N =
зовом пространстве Нерезонансные = 3). возмущения одевают стохастическим
слоем каждый из резонансных торов. Таким образом, все фазовое
пространство пронизано сеткой узких слоев, по которым частица может
