Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрены более детально в работе Бунимовича [160]. Последующие
исследования показали, что стохастнчность может возникать также в
биллиардах, которые содержат только фокусирующие дугп п прямолинейные
отрезки [161, 162]. Примеры таких биллиардов приведены на рис. Д1.1 **).
Соображения, иллюстрирующие причину возникновения стохастичности в
нерассеивающем биллиарде, проще всего понять на примере биллиарда типа
"стадион" [161]. Узкий пучок траекторий попадает на участок дуги
*) Цитируется по предисловию В. М. Алексеева к работам Р. Боуэна [158].
**) Биллиард типа "стадион" (рпс. Д1.1, а) рассматривался также в работе
[163], а в биллиарде на рис. Д1.1, в, как показано JL А. Бунимовичем,
стохастнчность существует при сколь угодпо малой хорде дуги.
т
биллиарда и после отражения от него начинает фокусироваться. После
прохождения области фокуса пучок начинает расходиться на прямолинейном
участке. При последующих прохождениях прямолинейного участка процесс
расхождения лучей нарастает. Таков путь возникновения локальной
неустойчивости.
Проведем простой анализ, позволяющий получить аналитические результаты в
явной форме [138]. Этот анализ выполняется одинаковым образом как для
рассеивающих, так и для нерассеивающих биллиардов.
w
О)
в)
8)
Д1.1. Примеры нерассеивающих биллиардов со стохастическими траекториями
частиц.
Д1.2. Биллиард с фокусирующими дугами и прямолинейными участками.
Ч
Д1.3. Образование "плиссированной" поверхности.
Рассмотрим сначала биллиард в форме, изображенной на рис. Д1.2, причем
являются ли дуги выпуклыми или вогнутыми, несущественно в дальнейшем.
Уравнение кривой, представляющей дугу биллиарда, запишем аналогично тому,
как это делалось в § 3.3 для "скользящих" электронов:
X=X(I). I = {*/"}, тахх(1) = Ь/а, (Д1.1)
где координата ? и параметры а, Ь указаны на рис. Д1.2. Следующие
неравенства используются для упрощения задачи:
Ь " о " I, (Д1.2)
где I - длина прямолинейных участков биллиарда.
Рассмотрим траекторию частицы после несколышх отражений от боковых
прямолинейных участков. Будем каждый отрезок луча траектории между двумя
последовательными отражениями от прямолинейных участков изображать на
отдельном листе. Сложим листы с последовательными отрезками траектории в
стопку и склепм их попарно вдоль тех прямолинейных участков биллиарда, от
которых происходит отражение (рис. Д1.3). В результате траектория частицы
изображается на "плиссированной" поверхности. Подчеркнем, что падающий и
отраженный лучи криволинейных участков биллиарда изображаются на одном и
том же листе.
Растянем теперь получеп-иую "плиссированную" поверхность и будем изучать
траекторию частицы на образовавшейся однолистной плоскости (рис. Д1.4).
До сих пор все рассуждения были точными. Введем последовательно ряд
упрощений технического характера. Если биллиард симметричный, то удобно
поверхность с траекторией согнуть вдоль оси х вдвое и склеить (рис. Д
1.5). Теперь вадача сводится к биллиарду типа "гусеница". Следующее
упрощение связано с использованием неравенств (Д1.2). Они позволяют
пренебречь участками
Д1.4. Развертка "плиссированной" поверхности.
245
I% УЧ --------T-7\----------------------------------------------7\-
Д1-5. Образование из "плис-
1 / \ / \ 4 сированной" поверхности
\ / _ \/.... биллиарда типа "гусеница".
траектории частицы, которые содержат более чем одно последовательных
столкновений внутри дуги биллиарда.
Дальнейший анализ аналогичен способу решения задачи о скользящих
электронах. Введем координаты (х", Ф") так, как это показано на рис.
Д1.5. Тогда
Оп+1 = О" -2arctgx'(6n)> *"+1 " + JctgOn+b (Д1.3)
или
(r)П+1 * (gn)' ?п + 1 Х {^П "Ь (Д1.4)
Отсюда находиы коэффициент растяжения фаз
- -! X" I ~-. (Д1.5)
a sin Оп+1
Из выражения (Д1.5), как и ранее, следует условие стохастичности
Я = ??тах7.""1, (Д1.6)
а
а безразмерная Я-энтронпя характеризуется выражением
ft ~ In Я = In max у/'). (Д1.7)
Если дуга биллиарда является параболой, то пз (Д1.1) следует Х(1) =
(4Ь/в)|( 1 - 6), maxx(6) = X (1/2) = Ь/а
н выражения (Д1.6), (Д1.7) переходят в следующие:
К = ШЫаг " 1, h = in (ШЬ/а1). (Д1.8)
Граница стохастичности определяется из условия К ~ 1. Согласно (Д1.8) это
означает, что при ШЬ/аг ^ 1 биллиард обладает свойством перемешивания.
Подчеркнем, что проведенный выше анализ и вывод уравнений отображения
(Д1.4) нигде не предполагали знание явного вида формы кривой х(6) вплоть
до конкретных оценок типа (Д1.8). Аналогичным образом может быть
рассмотрен и более сложный случай биллиарда, изображенного на рис. Д-1.1,
в и также имеющего прямолинейные участки границы. Для него строится
"плиссированная" поверхность, которая при растяжении переходит в "веер"
(рис. Д 1.6). Дальнейший анализ траекторий частицы и построение
отображения проводятся аналогичным способом.
Д1.6. Образование из "плис- В заключение проведем окончание анали-
сированной" поверхности за движения частицы в перемешивающем
биллиарда типа "веер". биллиарде. Пусть выполнено условие стоха-
