Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 90

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 102 >> Следующая

(1.2). Она связана все с тем же свойством движения: существованием точно
N интегралов движения. Предположим, что мы хотим "огрубить" траектории и
вместо бесконечно малой области dq в окрестности точки д рассмотреть
конечную область Дq. Другими словами, пусть суммирование в формуле (1.9)
производится не по точпым замкнутым орбитам, а по таким, которые
замыкаются в малой, но конечной области фазового пространства ДГ. Одпако
реальная траектория системы не может "сойти" со своего тора и "перейти"
на другой тор (без наличия возмущения). Поэтому точность в определении
величин /* будет та же: ДГ. Следовательно, правила квантования (1.2)
будут определяться с той же относительной точностью, с которой отбираются
периодические траектории. Именно поэтому, в частности, оправдан переход
от точного выражения (1.4) к асимптотической формуле (1.5), полученной
методом перевала.
4. Основные работы этого направления (по 1965 г.) собраны и изданы
Портером [172]. Их анализ проведен в прекрасном обзоре Портера [173]. В
работах Вигнера [171] и Портера и Розенцвейга [173, 175] рассматривался
гауссовский ансамбль случайных матриц. Формальное завершение это
направление получило в работах Дайсона [174], который рассмотрел ансамбли
случайпых ортогональных, унитарных и симплектических матриц. Ряд
последних результатов этого направления содержится в обзорах [187. 188].
Представление об ансамбле случайных матриц уже было известным благодаря
результатам Вейля [176], который ввел понятие функции распределения
(меры) на группе и получил распределение собственных значений для
унитарного ансамбля.
5. Обратим внимание на то, что в формуле (4.1) интегрирование ведется
по замкнутым траекториям, т. е. по замкнутым контурам, совпадающим с
траекториями. В то же время в интегрируемом случае (§ 12.1) мы смогли
перейти от таких контуров к топологически замкнутым контурам, лежащим на
/V-мерных инвариантных торах. Это привело к существенным упрощениям.
Однако в рассматриваемом случае инвариантные торы разрушены, и
возможность введения удобных топологических орбит, по-видимому,
отсутствует.
6. Существует также определенное количество экспериментальных данных.
Первые из них по анализу распределения расстояний между уровнями были
получены в работе [185] для группы тяжелых ядер. Эти данные блестяще
подтвердили гипотезу о существовании расталкивания между уровнями.
Аналогичные результаты были получены также для электронных уровней
возбужденных атомов. Здесь статистическое распределение должно возникать
за счет достаточно сильного спин-орбитального взаимодействия, приводящего
к разрушению квантовых чисел L и S.
Более сложным является вопрос об экспериментальном или численном
определении закона расталкивания уровней и зависимости его от
динамических характеристик системы. Трудности связаны с низкой точностью
анализа при очень малых значениях ДЕ.
16*
ДОПОЛНЕНИЯ
Д1. Перемешивающие биллиарды
Перемешивающим называется биллиард, в котором возможно движение шара с
перемешиванием. Область фазового пространства, занимаемая стохастическими
траекториями, может составлять часть всей области фазового пространства
допустимого движения. Общая картина динамики частицы в биллиарде
определяется его геометрией. Биллиарды очень наглядны и удобны для
изучения общих свойств гамильтоновых динамических систем. Интерес к ним
связан, однако, не только с этим. Можно установить однозначное
соответствие между конкретными динамическими задачами и задачей
о движении частицы в биллиарде. Другими словами, многие динамические
задачи могут быть приведены к задаче биллиардного типа (см., например, §§
2.3, 3.3). Основная идея подобного соответствия заключается в следующем.
Пусть для рассматриваемой гамильтоновой системы удалось тем пли иным
способом построить отображение, реализующее движение системы (т. е.
перейти от дифференциальных уравнений движения к уравнениям в конечных
разностях). Тогда это отображение имеет ту же структуру, что в
отображение для траектории частицы в биллиарде определенного типа.
Биллиарды, как динамические системы, быстро приобрели популярность, когда
стало ясно, что самым наглядным примером динамической системы со
стохастическими траекториями является биллиард отрицательной кривизны. В
связи с этим уместно отметить пророческие слова Жака Адамара, который еще
в 1898 г. начал изучение геодезических в пространстве отрицательной
кривизны [157]: "Имеется ли что-нибудь подобное в задачах дипампки
и, в частности, в небеспои механике? Если это так, то вся постановка
вопроса об устойчивости планетных систем пуждается в коренном
пересмотре"*).
В § 2.3 уже рассматривались биллиарды со стенками отрицательной кривизны.
Если границы биллиарда имеют как отрицательную, так и положительную
кривизну, то характер динамики частицы должен определяться соотношением
времен, которые частица проводит в окрестности рассеиваю* щих и
фокусирующих областей. Эти соображения были высказаны Хопфом [40] и
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed