Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
также Боголюбовым (см. [102, с. 5]).
В этой главе будет показано, что для квантовых ^-систем может быть
выведено квантовое кинетическое уравнение типа уравнения Паули без
априорного предположения о случайности начальных фаз. Наше изложение
будет следовать работе [135]. Модель, на которой будет продемонстрирован
метод получения кинетического уравнения, представляет собой квантовый
нелинейный осциллятор, возмущаемый внешней периодической силой.
Классический вариант этой модели был рассмотрен в § 4.1, а квантовый
вариант - в гл. 9 и 10.
Основная идея излагаемого ниже метода [135] заключается в том, чтобы
показать, как эргодические свойства квантовой К-системы в классическом
переделе приводят к быстрому затуханию
198
недиагональных элементов матриц плотности. Этот результат получается в
квазиклассическом приближении и приводит к возможности сокращенного
описания системы в форме кинетического уравнения типа уравнения Паули.
§ 11.1. Уравнение для матрицы плотности
Разложение по степеням возмущения. Выделение Ф-коррелятора. Роль
недиагональных элементов матрицы плотности
Этот параграф является вспомогательным. Его цель - получить такое
уравнение для матрицы плотности динамической системы, которое являлось бы
удобным для анализа квантовых Я-систем.
Как и раньше, рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
H = H0 + V(q,t), (1.1)
."ч
где Но - гамильтониан невозмущенной динамической системы с дискретным
спектром, a V(q,t) - возмущение, зависящее периодически от времени. Пусть
Е" и ф"(д) - собственные значения и собственные функции Я0:
."ч
^офп " 7?пфп"
Представим волновую функцию системы \|з(д, t) в внде разложения:
'И?. *)-2сп(*)фп(?). (1.2)
П
где амплитуды сп удовлетворяют уравнению 00
ifiCn - Епсп + 2 У пт (0 Спм
? (1.3)
vnm (t) = <ra|V" (q, t)\m}= j dq ф* (q) f (q, t) фт (q).
-00
Уравнение (1.3) можно также представить в виде следующего интегрального
уравнения:
с" (t) = ехр у Entj сп (0) -
00 С
- Y ехр(- Y Entj 2 j ипт (т) ехр (у ?тт) ст (т) dx, (1.4)
m=l "
где обозначено
U пт (0 - У пт (t) ехр (), (Onm - ~Т~ (Еп Ет).
199
Далее удобно использовать функцию Грина G(q,t\q^,t0) для уравнения
Шредингера с гамильтонианом (1.1). Она удовлетворяет уравнению
ОО
Ч> (?. О = j йЯо° (Я, *1 ?о. 0) ¦ (?о. 0)-
-ОО
Обозпачпм
ОО
Gnm(t, 0)= j dq dq0tyl (q) G(q,t\ q0, 0) cpm (q0). (1.5)
-oo
Из (1.5) и (1.2) следует представление для амплитуд с" в более короткой
форме:
с"(0= S Gnm(t,0)cm(0). (1-6)
m=i
Рассмотрим теперь невозмущенную функцию Грина
G0 {Я, 11 0) = 2 Ф* (?) Ф* ((r)о) ехР (- Т Еь*)'
Г * \ (1-7)
^nm (^,0) - ехр ^- у Entj $пт
и воспользуемся следующим представлением для полной функции Грина:
G (я, 11 q0, 0) = G° {q, 11 g0, 0) -
oo t
- Y J dy^dx G° (q, 11 у, т) V (у, t) G (y, x | q0, 0).
-oo o
С помощью выражений (1.5) и (1.7) это уравнение можно переписать в виде
Gnm (t, 0) = ехр ^ •j- Emtj Ьпт
t оо
- у Jdtexp [- YEn(t - Т)] j dydqa4>l(y)V (y,x)x
0 -oo
xG(y, x\q0, 0)cpm(g0). (1.8)
Уравнение (1.8) будет пспользовано ниже. Подставим выражение (1.6) в
(1.4):
сп (0 " ехр (i- Ent'j сп (0) - у ехр EntJ 2 ск (0) A(tm)k (*, 0),
m,h=l
(1.9)
200
где обозначено
t
Am (*, 0) = j dxunm exp (y Gmh (T, 0). (1.10)
0
В уравнении (1.10) верхняя пара индексов для коэффициентов А% относится к
возмущению, а нижняя - к функции Грина. Введем теперь матрицу плотности в
виде
pmn (0 = Cm (0 Сп (0
и составим для нее уравнение, используя выражение (1.9):
Pmn (*) = ехр (- mmnt) Jpmn (0) +
ОО
+ т 2 [jwC(r) (*• °) - рр" (°) 45? (*. °)] +
Р,9=1
+ 4 2 Рм(0)^(*,0)^.""(*,0) . (1.11)
p,g,r,e=i )
Из формулы (1.11) получаем для диагональных компонент матрицы плотности:
ОО
Рпп (*) = рпп (0) + Рпп (0) 2 [45Г (*, 0) - к. С.] +
m=i
+ 4-2р^(°) 2 4км)
1L
Л ft=l m=X
+ Фпп(<,0), (1.12)
где
ОО
Фпп (*, 0) = | 2 [рп, (0) (*, 0) - к. С.] +
Р.9=1
(ЯФп)
ОО
+ А 2 Pr.(0)^p?(f, 0) Ад"9 (t, 0). (1.13)
Р.Я,г,*=1
(Г**)
Смысл проделанных выкладок состоит в следующем. В уравнении (1.12)
выделены такие члены, которые содержат только диагональные компоненты
матрицы плотности, а все недиагональные компоненты содержатся в функции
Ф""(г, 0), которую будем называть Ф-коррелятором. Обычное приближение
хаотических фаз заключается в следующем условии:
рлт (0) = рппб птт (1.14)
т. е. при 2 = 0 все недиагональные компоненты матрицы плотности равны
нулю и, следовательно, Ф""(*, 0) (tm) 0.
201
Нашей дальнейшей целью будет исследование Ф-коррелятора без использования
условия (1.14). Свойства этого коррелятора будут установлены на основе
анализа динамических уравнений системы (1.1) в квазиклассическом
приближении и в том случае, когда система (1.1) является квантовой /(^-
системой.
Для упрощения задачи будем считать возмущение V малым и в уравнениях
(1.11) и (1.12) ограничимся разложением в ряд до членов порядка V2
включительно. Такая точность достаточна для получения кинетического
уравнения. Из формул (1.11)-
(1.13) видно, что для требуемой точности необходимо найти величины
