Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
система уравнений (3.11) имеет эффективно конечный порядок (~2Дп).
Перекрытие двух резонансов означает, что эффективный порядок системы для
амплитуд с" увеличивается до величины ~4Д п, но тем не менее остается
конечным. Таким образом, задача о перекрытии двух резонансов в квантовой
механике сводится с формальной точки зрения к системе линейных уравнений.
Порядок этой системы конечен, и поэтому в ней не может возникнуть
стохастичность (конечные линейные системы таким свойством не обладают).
Приведенные выше рассуждения обладают определенным недостатком: они
основаны на результатах, полученных по теории возмущений и примененных к
области, в которой эта теория несправедлива. В классическом случае,
однако, подобная оценка привела к правильному результату (см. § 4.2). Для
анализа квантового случая обратимся к результатам численного анализа
Примем для определенности в гамильтониане (3.20) следующие выражения:
Я"=7ио[а+а + ц,(а+а)*], V - У, = V% - У"(а+ + а). (3.21)
[151, 152].
Тогда невозмущенный спектр задачи имеет вид
Еп=%(лЫ+ ц0п*),
/ч
где Н0\п> = Еп\п>. Приведем задачу к симметричной Определим число па
следующим уравнением:
(3.22)
форме.
(3.23)
и представим, согласно (3.22) и (3.23), Еи в виде
о о
ж ЕПо + Щп - п0) + 7м"ц0 (n - n0f. (3.24)
192
Теперь можно сохранить ту же форму разложения (3.7):
У (0 = S'4" W ехр f - i (w - п0) vt + -j- En<t\ i|j". (3.25)
П
В том же приближении (3.4) и (3.6) и с учетом представления
(3.24) уравнения для амплитуд Ат имеют вид
где б со - расстояние между резонансами. Система уравнений
(3.26) аналогична системе (3.11) и является ее обобщением на случай
двух резонансов. При бсо = 0 уравнения (3.26) переходят в уравнения
(3.11), а амплитуды А" совпадают с амплитудами Сп_лв.
Аналогично формуле (3.12) произведем разложение:
При б(c) = 0 выражения (3.28) и (3.29) переходят в соответствующие формулы
(3.14) для одного резонанса.
Основная особенность эффективного гамильтониана (3.29) для двух
резонансов состоит в том, что он явно зависит от времени, н избавиться от
нее невозможно.
Аналогично формуле (3.5) введем безразмерный параметр возмущения
Из вида Шф, t) следует, что при очень малых значениях б(о возмущение
является адиабатическим и приводит к слабым эффектам. При очень больших
значениях 6(0 возмущение является высокочастотным и также создает малые
поправки к основному движению. Наиболее сильное влияние возмущения будет
в том случае, когда его частота окажется сравнимой с частотой основно-
13 г. М. ЗаславскиП 193
iAm = vn0m2Am + v0 cos Ц- бсоЛ (Am+1 + Am_x),
m = n - n0,
(3.26)
(3.27)
о
После подстановки (3.27) в (3.26) получаем
i% ^ = Ма,
01
Ж = - fcvUo -j + U (ф, t), о ф
U (ф, t) - 2V0 cos (V26(oi) cos ф.
(3.28)
Гамильтониан в (3.28) может быть также записан в виде
Ж - - ft{i0v 2-г + V0 [cos (ф + 4-fkoi) + cos (ф - i 6(oi)]. (3.29) дф "
"
,2
e = 2F0/n0fe(o"o a? 2V0/n0%v.
(3.30)
го перехода невозмущенного движения. Это условие нетрудно получить из
выражений (3.28) и (3.18):
<3*31>
где е определено формулой (3.30). Легко видеть, что условие (3.31)
выражает фактически условие перекрытия резонансов (сравните также с
(4.2.12) и (4.2.13)), поскольку величина Дю =
= ДЕ/% определяет ширп-
<IAJ>
0,2 j-
*) t
о,гт
ну одного резонанса по частоте (в классическом пределе).
Приведем теперь данные численного анализа задачи (3.28) [151, 1521. На
рис. 10.1 изображено распределение заселенностей по уровням для одного
изолированного резонанса (в уравнениях (3.28) или (3.29) полагается боа =
0). Черный кружок обозначает начально заселенный (один) уровень. При
выбранных значениях параметров полуширине резонанса соответствует т* ~ 14
(Дп ~ 2т*). Из рис. 10.1, а, б видно, что при начальной заселенности с те
> 14 уровень "расплывается" вследствие переходов слабо. Иная картина
распределения заселенностей на рис. 10.1, в, г, д. В этом случае начально
заселенный уровень попадает в полосу Ап, т. е. захвачен в нелинейный
резонанс, и этим определяется широкая полоса (~Дп) распределения
заселенностей. Из рис. 10.1 видно также, что граница нелинейного
резонанса является достаточно резкой. Это означает, что туннелирование
системы из спектральной полосы, соответствующей ширине нелинейного
резонанса, имеет малую вероятность.
Пусть ра - некоторый элемент матрицы плотности. Тогда для анализа
динамики ра(?) удобно рассмотреть коррелятор
Рис. .10.1. Полоса спектра, соответствующая захвату в нелинейный
резонанс.
R (т) = Re
<Pg (0 Pg (* + T))t ~ (<Pg (0)t)2 (<|Pa(')|2>")1/a
194
где усреднение проводится по времени:
*0
<...)*= *ff dt 0 о
и величина t0 выбирается достаточно большой.
На рис. 10.2 приведена корреляционная функция различных элементов матрицы
плотности в случае одного изолированного резонанса. Она имеет
периодическую структуру с частотой, равной частоте фазовых колебаний
~ДЕ]% (см. (3.18)). Время т на рис. 10.2 (и на рис. 10.3) приводится в
безразмерной форме: т - "=vf.
