Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
wnttV2E'n0(n-n0)\ (3.10)
Вследствие малости возмущения можно заменить в системе (3.8) всюду V",
n±i на V" " ±1. Кроме того, пз неравенства n0 > 1 имеем
^ 4*0-* (tm) ч-
Теперь исходная система существенно упрощается:
i%cn = УгЕп0 (п - п")2 с" + F"o (сп+1 + с"_0. (3.11)
Система (3.11) легко решается. Действительно, введем новые амплитуды а(ф,
t) согласно формуле
2Я
сп = dfPа (ф. 0 ехР I" (" - "о) ф]. (3-12)
о
189
причем
а(ф, f) = a(<p + 2л, t). (3.13)
Подстановка (3.12) в (3.11) дает i% g = %а,
, (3-14)
? = - 44 ^2 + ^ (ф). (ф) = 2F"o cos ф.
Мы пришли к уравнению Шредингера для квантового ротатора с массой,
пропорциональной 1 1Еп . Классическим аналогом гамильтониана является
эффективный гамильтониан (1.3.10), описывающий фазовые колебания системы
вблизи резонанса.
Общее решение задачи (3.14) имеет впд
"(ф. 0 = 2 (ф)ехр (- Т *'**)' ^3-15^
где А,, п х" - соответственно собственные значения и собственные функции
стационарной задачи
Э6Ъ = ЬчЪ, (3.16)
а Ьч - коэффициенты разложения, определяемые начальным условием. Из вида
оператора 2/6 следует, что уравнение (3.16) является уравнением Матье.
Тем самым система собственных зпаченпй Я, и собственных функций %я
известна. Спектр Хч имеет зонную структуру. Согласно условию (3.13) нам
необходимо отобрать только периодические по ф функции х?(ф)- Им
соответствуют функции Матье первого рода и те значения Хч, которые
расположены на границах зон. Именно эти функции х" и соответствующие им
собственные значения А,, входят в разложение (3.15).
Пусть теперь с"(0) определяют начальные значения амплитуд cn(t) в системе
(3.8). Тогда из (3.12) и (3.15) следует, что
сп (0 = 22 Ст (°) Ып~ по) Хд ("о - т) ехР (- Т v).
т д ' '
где
2 Я
X? (п) = 2^j ??Ф ехр (шф) х, (ф). о
Это и есть решение задачи о нелинейном резонансе, выраженное через
начальные условия.
Оценпм число уровней Ап, захваченных в резонанс. Из формул (3.14) для 36
имеем
А" [ 2Ч V/2 '"'1/2
no~UKI
-(c) ' (ЗЛ7)
190
где использованы обозначения (3.5). Из принятого условия (3.6) следует
согласно (3.17), что Дга<га0, т. е. неравенство (3.4). Это оправдывает
произведенные ранее разложения по Ага.
Полученный результат может быть также интерпретировав следующим образом.
Под влиянием периодического возмущения уровни энергии невозмущенного
гамильтониана Но в полосе (п0 - Ап, п0 + Ага) "расщепляются" на уровни
квазиэнергии. Число квазиуровней в окрестности каждого из уровней в
полосе (п0 - Ап, По + Атг) порядка Ап, т. е. порядка числа уровней,
захваченных в резонанс. Это утверждение вытекает из того, что именно
столько различных функций у, входит эффективно в разложение (3.15).
Расстояние между уровнями квазиэнергпй пмеет порядок
Atfmin ~ min К ~ (Уп01 | )1/2 ~ Йм"о (е(10)1/2. (3.18)
Нетрудно видеть (см. формулу (1.3.13)), что частота переходов между
уровнями квазиэнергий А Е/% соответствует частоте фазовых колебаний в
классическом пределе. В силу второго неравенства в формуле (3.6) имеем
АЕ <&Полп0, (3.19)
что оправдывает использование резонансного приближения.
Обратим также внимание на то, что величина "расщепления" уровней АЕ
пропорциональна е'/2, а не е, как, напрпмер, при резонансном возмущении
двухуровневой системы. На первый взгляд может показаться, что все
основные особенности квантового нелинейного резонанса те же, что и в
классическом случае. В действительности имеется одно существенное
отличпе, связанное со вторым неравенством в (3.4): Дге"1. Оно проявится
при взаимодействии резонапсов, которое рассматривается ниже.
Взаимодействие нескольких резонансов возникает при их перекрытии. В
классическом случае (§ 4.2) перекрытие резонансов являлось одним из
критерпев появления стохастичности. Более сильное утверждение заключалось
в том, что стохастпчность возникает даже тогда, когда перекрываются всего
лишь два резонанса [25, 84]. В этом случае гамильтониан системы пмеет,
напрпмер, вид
fi = Н0 + 1/2V1 cos Vjf + 1/2V2 cos v2t, (3.20)
где v, и v, - две частоты внешнего поля. Обозначим через A(c)!, Ды2
характерные ширины резонансов от взаимодействия с отдельными частотами v,
и v2 соответственно в классическом случае. Пусть для простоты
Vl = Vi = V, До"! ~ Дш2 = Дш.
Расстояние между резонансами определяется величиной
бш = |Vj - v*l.
191
Тогда критерий перекрытия резонансов в классической случае выглядит
следующим образом: если выполнено условие
[Аш/6а> - II > 1,
то в фазовом пространстве происходит движение с перемешива-пием в
областп, прпблизательно ограниченной границей невозмущенных резонансов.
Простые рассуждения показывают, что невозможно провести прямую аналогию
между перекрытием резонансов в классическом случае и в квантовом случае.
Действительно, из результатов, полученных в этом параграфе, следует, что
изолированный квантовый нелинейный резонанс проявляется в сильном
взаимодействии конечного числа (~Дп) состояний с энергиями, лежащими в
полосе квантовых чисел ~(п0 - Ап, п0 + Ап). Это проявляется в том, что
