Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
"медленной" переменной &. Согласно формуле (1.14) эта переменная является
аналогом классического действия системы 7. Медленные случайные изменения
186
действия 7 описываются уравнением диффузии (9.5.19). Согласно формуле
(9.5.21) имеет место закон
</(*)> = 7(0) + ъН/Т. (2.15)
Обратимся теперь к квантовому случаю. Из точного соотношения (1.15)
следует *?
= Ш J М0ЗГп =?0 + e2n + ie 2 (<"*> - (О). (2.16)
О т=1
где
2Я
$.атУ = 2^ ^ dftgCtm. (2.17)
О
В классическом пределе средние по фазе "ат", (а^) обращаются в нуль и
формула (2.16) после замены п - t/T переходит в формулу (2.15). Однако в
квантовом случае величина "От" пропорциональна коррелятору 52 т в
соответствии с формулой (2.3). Эти корреляторы лишь на временах t ¦< ?д
убывают экспоненциально, и поэтому на этих временах
{ЗГ (*)> " ^о + гЧ/Т (t < tn), (2.18)
что совпадает с классическим выражением (2.15). Однако при
t > tn поведение коррелятора 52" меняется и определяется формулой (2.6).
Поэтому, несмотря на малость величин ^ат", их сумма в выражении (2.16)
начинает накапливаться и существенно влияет на асимптотическое поведение
"34*)". Для его оценки, очевидно, необходимо более точное определение
затухания корреляционной функции 52", чем это сделано в формуле (2.6)
(ком. 5).
§ 10.3. Взаимодействие квантовых резонансов
Квантовый нелинейный резонанс во внешнем поле. Эффективный гамильтониан.
Взаимодействие двух резонансов при их перекрытии. Численный анализ
стохастичности при перекрытии резонансов
В 4.2 было показано, что в типичной ситуации для классических систем
условие стохастичности совпадает с критерием перекрытия резонансов
(4.2.8), предложенным Чириковым. В тех случаях, когда ширина отдельного
резонанса совпадает с расстоянием до ближайшего резонанса, возникает
случайное движение. Естественно рассмотреть подобную ситуацию и в
квантовом случае.
Исследуем сначала вопрос об изолированном нелинейном резонансе в
квантовом случае [1501. Пусть гамильтониан системы
187
задан в виде
Н = Н0+V cos vf
(3.1)
в оннсывает действве периодической во времена свлы на некоторую
нелинейную систему с гамвльтонианом Н0. Обозначим через Е" и собственные
значения и собственные функции невозмущенной задачи
НоЪп = Еп$п. (3.2)
По аналогии с классическим случаем (см. § 1.3) мы рассмотрим следующую
ситуацию. Пусть частота внешнего возмущения v близка к частоте перехода
невозмущенной системы <о"в в окрестности уровня с номером п", т. е.
ftv " %(Лпо = ?n#+1 - ЕПо. (3.3)
Величину "о будем считать большой (/lo^l), что соответствует
квазиклассической ситуации. Дальнейшая конкретизация системы связана с
характером переходов, близких к резонансному. Если энгармонизм
невозмущенной системы очень велик, то переходы, близкие к резонансному
переходу (3.3), уже не являются резонансными вследствие сильной
неэквидистантноств энергетического спектра Еп. В этом случае достаточно
ограничиться лишь рассмотрением переходов между двумя уровнями с номерами
п0 в п0 +1.
В другом предельном случае ангармонизм системы мал в энергетический
спектр Еп не очень сильно отличается от эквидистантного. Тогда большое
число переходов, находящихся по соседству с основным переходом (и0 **
По+1), также близки к резонансным и должны быть рассмотрены одновременно.
Именно эта ситуация и будет рассматриваться ниже.
Обозначим через Ага число уровней в окрестности п0, которые эффективно
захвачены в резонанс. Это означает, что в полосе спектра п0 ± Ап частоты
переходов между соседними уровнями близки к частоте возмущения v. Будем
предполагать выполненным следующее неравенство:
и0 > Ага " 1. (3.4)
Введем безразмерные параметры
2V" " nJEl
= _"о-"о+1 n=JLJLo (3>5)
"0*и"0 *°Ч
где штрих означает дифференцирование по га0, а матричные элементы
возмущения У", n+i определены обычным образом:
Vn, п+1 = <$n\V\yn+t\
Параметр е характеризует величину возмущения, а параметр Ци - величину
нелинейности (энгармонизма эпергетического
188
спектра). Они аналогичны соответственно параметрам в и а, введенным в
классическом случае в § 1.3. Будем также предполагать выполненным
неравенство
е < |10 < 1/е, (3.6)
которое соответствует неравенству (1.3.7). Представим волновую функцию
ф(х, t) полной системы (3.1) в виде следующего разложения по собственным
функциям невозмущенной эадачи (3.2):
(х> 0 = 2 (*) ехР [- * ((" - гао)v + у ^n0) t J. (3.7)
Подставим выражение (3.7) в уравнение Шредпнгера:
Ш = (я0 + V cos vt) ф (*, t).
Оставляя только резонансные члены, находим
^n.n+l^n+l^" Vn, n- iCn-If (3.8)
где
wn = En - EnQ - Hv(n - n0). (3.9)
В системе (3.8) следует оставить только такпе п, которые лежат в области
~(щ - Ап, п0 + Ап), где переходы близки к резонансным. Величина Ап и
оправдание неравенства Ап < п0 (3.4) будут приведены ниже.
Произведем разложение в формуле (3.9) в ряд по малой величине (га -га0):
wn " и>п0 + (n - raj) + V2^0 (п - п0)\
Учитывая определение
= Еп+1 - ?" " Е'п и условие резонанса (3.3), получаем для wn:
