Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
точностью до медленно меняющегося множителя) квантовый коррелятор фаз,
являющийся аналогом коррелятора фаз в классическом пределе в соответствии
с соотношениями
(2.1)-(2.3).
Ранее в классическом пределе (% = 0) было получено выражение (9.5.11) для
величины Яп. Используя его и формулу (2.2), находим
~ I "о I2 ехР (- пТ/те). (2.4)
Выражение (2.4) имеет ограниченное время применимости, которое совпадает
со временем применимости квазиклассического приближения. Это время h
приведено в формуле (9.5.32): tn = тс In (1/?). Подставляя его в формулу
(2.4) вместо пТ, находим тот уровень затухания корреляционной функции,
который может быть получен из квазиклассического анализа:
Я,"~?1/4 = (ЙцГ)1/4. (2.5)
Корреляционная функция Яп затухает экспоненциально (как и в классическом
пределе) до величины порядка ?1/4 за время ~ ?". Следующая задача состоит
в определении закона поведения величины Яп при t *Л. Этой цели и служит
формула
(2.3), в которой среднее €ап^ должно находиться из точного выражения
(1.13). Такие вычисления были проведены в работе [148]. Они являются
довольно громоздкими, и поэтому мы приведем лишь конечный результат:
Яп ^ const/ Y пк. (2.6)
Таким образом, начиная с величины порядка (2.5) дальнейшее убывание
корреляционной функции со временем происходит не быстрее, чем степенным
образом (ком. 3).
184
Медленное убывание корреляций на больших временах означает отсутствие в
квантовых ^-системах полного перемешивания - обстоятельство, являющееся
прямым следствием соотношения неопределенности. Грубая интерпретация
сделанного замечания состоит в том, что в ячейке фазового пространства
объемом % невозможно разместить более одного состояния, и поэтому
состояния нельзя достаточно хорошо "размешать" в фазовом пространстве.
Приведенная особенность квантовых ^-систем находит свое отражение также и
при анализе свойств локальной неустойчивости.
В классическом пределе локальной неустойчивостью обладает величина
\dajdb<>\ (см. формулу (9.5.24))*). Оценим ее в квантовом случае,
используя точное выражение (1.13) для а". Имеем
^2 = ехр [-1 а0 р + е2 (п - 1)] Д П Г* Ш Г&)<? X
ovo j=lh=l
хехр te S ("{I/} - "* Ы) + "* {*fo}"{in} j" (2.7) где обозначено
+",ы[_
+ + <2'8> Воспользуемся выражениями
P"(Q =¦ exp [-moT1 - ?(?t + ?2 + • • • + ?•)].
С их помощью из определений (1.9) находим
(2.9)
Формулы (2.9) следует подставить в (2.8), а получившееся выражение-в
(2.7). Поскольку !/*(! = 1 для любого I, то отсюда сразу следует оценка
lda"/6ffrol <constxnlaj. (2.10)
Таким образом, рост величины ldan/dftol происходит в квантовом случае не
быстрее, чем степенным образом, и, следовательно,
*) Напомним, что в данной случае локальная неустойчивость проявляется в
той, что модуль разности двух значений амплитуды an, принадлежащих двум
траекториям с малой разностью начальных значений фаз О о, экспоненциально
растет со временем.
185
экспоненциальная локальная неустойчивость на больших временах
отсутствует. Эквивалентное утверждение заключается в том, что энтропия
Колмогорова для динамики средних значений равна нулю (ком. 4). Этот факт
также отражает существование корреляций в квантовых системах.
Влияние квантовых эффектов на отклонения законов эволюции средних
значений (а", а") от соответствующих классических законов может быть
сформулировано в более явном виде.
Рассмотрим снова соотношение (1.13) при га = 1 и выполним интегрирование
по |i, rjt. Это дает
а, = ехр {-i(o) + %\i)T - (1 - ехр (-2?Й|х21)) I ot012)ot0, (2.11)
осо = а0 - ie.
Из формулы (2.11) сразу видна роль параметра
С -ЛцГ, (2.12)
определенного формулой (9.4.3). При ? <а 1 можно произвести разложение по
?. В этом случае отображение (2.11) переходит в классическое с
добавлением малых поправок порядка %\iT. Дальнейшая итерация приводит к
быстрому накоплению этих поправок. При % ^ 1 квантовые эффекты
существенны уже на первом шаге отображения, которое в этом случае сильно
отличается от классического.
Формула (2.11) позволяет, таким образом, сделать утверждение о том, что
область сильного влияния квантовых эффектов отделена от области слабого
пх влияния границей
С ~ 1, (2.13)
которая уже была получена в § 9.5 из качественных соображений.
Подчеркнем, что в данном случае значенпе (2.13) следует из точпого
выражения (2.11).
Условие существования квазиклассического приближения для описания
квантовой ^-системы в течение конечного (но не малого) времени выражается
неравенством % < 1, или, согласно формуле (9.5.36), неравенством К < и. С
другой стороны, условие того, что система является 7?-системой,
заключается в неравенстве К " 1. Совмещение этих двух условий дает
и " К " 1. (2.14)
Формула (2.14) определяет значения параметров, при которых динамика
квантовой ^-системы в течение длительного времени близка к динамике
классической Я-системы.
Однако существование хотя и малых, по конечных корреляции в квантовом
случае оказывает определенное влияние на процесс диффузионного изменения
