Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 67

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 102 >> Следующая

где введены обозначения
a{|0) = a0, a{|t) - a0 exp [-l(<oT +|,)J,
(1.9)
(*{?,} = (a{|j-,} - ie) exp [-i(<oT + ?,)], / > 2.
180
С помощью формулы (1.8) можно вычислять среднее значение любой
операторной функции A(dt, ад) в моменты времени tn "
- гаГ + 0:
(А (а0 ) я))п - Sp (ifn"^ (во", ао) фп) = Sp (я]5п А^ (во, в0) фп)*
Подставляя в это выражение значения из (1.8), получаем
<А (at, "о)>п = П П Р* (Л*) Г (Ei) X ;=1 h=l
X ехр [- у ie (a {&} + а* (У) + \ is (а {тц} + а* {r)ft})] х
X А(Ю (а* {т]"} + 18, а {?"} - ie) <а {ri"} - ie | а {?"} - ie>. (1.10) В
частности, из (1.10) следует
"П = <я0>п = П П Г* Ы Г (У a {?"> х j=l h=l
X ехр [- i- ie (а {?,} + а* (У) + у (а {^} + а* {Па})] X
X <а {Лп} - *е | а {?"} - Je>. (1.11)
Выражение (1.11) для ап можно преобразовать к несколько иной форме. Из
рекуррентных соотношений (1.9) следует
I а {?п} - "е I2 = I а0 Is + е2" + ie 2 (а ill) - а* {?"})• (1-12)
i=i
Используя выражение (9.37) для матричных элементов когерентных состояний
и формулу (1.12), получаем из (1.11)
а" = ехр [-1 а01* - е* (п - 1)] Д П Г* {л*} ? {У " {?"} X
j=l i-1
Xexp1г"S ("{&} - а*М) + "*{Лп}<*{?"}]• (1.13)
Мы получили соотношения, которые выражают среднее значение (а") оператора
а в момент времени f" + 0 через начальное условие (а0). Однако
рекуррентного соотношения, связывающего а" с а"-|, не существует, в
противоположность тому, что имеет место в классическом пределе (ком. 2).
Определим величину
= Sp (фпО^ fl0i|)n), (1.14)
являющуюся аналогом классического действия, взятого в момент времени f" +
0. Используя общую формулу (1.10) и рекуррентные соотношения (1.9),
находим
¦^n+l = + ^8 (ctn - Otn) + 8(r). (1,15)
181
Эта формула определяет рекуррентную связь между значениями 3, взятыми в
разные моменты времени.
В заключение этого парэграфа приведем некоторые обобщения полученных
соотношений. Представим исходный классический гамильтониан системы
(9.2.1) в следующем виде:
H = H0{I) + zV(q)T 2 б(t-kT), (1.16)
к=-оо
где I - классическое действие системы. Квантовым обобщением гамильтониана
(1.16) можно выбрать следующее выражение:
S = Н0(а+а) + г9(а++а)Т 2 6(t - kT). (1.17)
к=-оо
В этом парэграфе были получены квантовые отобрэжеипя для случэя, когдэ
Н0 (а+а) = а+а + %2ц (а+а)2,
V (а+ + а) - у- (а+ + а).
Аналогичные отобрэжения легко построить и для произвольных функций
Н0(а+а) и V(a+ + а), используя соответствующее фурье-преобразавание.
Приведем соответствующие вырэжения.
Пусть Е(т) - собственные знэчения оператора Н0(а+а) и т> 0 - целое число,
т. е.
#0(а+а) I то> = ЕЫ) I то>.
Тогдэ
% | р> - ехр (- 4- Hj) | р> = f " (|) | р ехр (- i|)>, (1.18)
где оперэтор Г0(?) определен энэлогично (1.4) с ядром 00
г. (I) = s J dz ехр [- i. Е (z) Т + iz|]. (1.19)
-00
Анэлогично предстэвим
Тг = ехр [- ieV (а++а)] = J й|Ге (f) ехр [- i (а+ + а) 1],
Ге (I) = ^ j* dx ехр [- ieV (х) + i\x\.
С помощью вырэжений (1.6) и (1.20) можно зэписэть действие оперэторэ
возмущения нэ когерентное состояние:
Те1б> = P. (I) ехр [- ± if (6 + б*)] | б - is). (1.21)
182
Теперь запишем действие оператора сдвига Т на время Т: ifi = 7\|)0 = Т |
а0> = ТеТ01 а0> =
= Г (i, I) ехр - -|-ig (а0е"*6 + ajei6)j | a0e-i? - if), (1.22)
где
f(i, I)-r.(|)f,(6).
Формула (1.22) является обобщением формулы (1.7). Последовательные
итерации приводят также к обобщению формулы (1.8):
н>п = Пг(^ fi)x
3=1
хехр[- -^е(а{?,-, fj)+a*{?j, Ij})]|аUi, fj}>, (1.23) где рекуррентные
соотношения (1.9) заменяются на следующие: (r) (io> 1о) = (r)0*
а Ш, I}) = "|Бы, Ij-iJ e~iIj - if,-, a Hi, I j) = Ii (a (ij, I,} + if j)
(/ = 1, 2, ...).
Выражения (1.8) и (1.23) решают задачу о построении квантовых отображений
для гамильтонианов типа (1.17). То обстоятельство, что в качестве
начального состояния было выбрано когерентное состояние, не является
существенным. Действительно, любое другое начальное состояние может быть
разложено по базису когерентных состояний в силу полноты этого базиса.
§ 10.2. Анализ квантовых отображений
Корреляция фаз. Локальная неустойчивость. Квантовая граница. Диффузия
Формула (1.11) определяет точное выражение для проекции оператора а на
фазовое пространство в момент времени tn =
- пТ + 0. Выражение для проекции оператора а+ находится из (1.11)
путем комплексного сопряжения. Уравнение (1.11) содержит основную
физическую информацию. Действительно, в классическом пределе (Й = 0)
выражение для Яп (9.5.17) определяет корреляцию фаз системы. Положим
a" = |а"1 ехр (-ift")
183
и рассмотрим величину
2Я 2Я
= dK"n< = hildbо I"""о I ехр[- /(&" - Оо)1. (2-1)
о о
Поскольку величина |ап1 медленно меняется со временем при К > 1, то
Яап~Яп\*0\\ (2.2)
Отсюда следует, что вычисление коррелятора (2.1) фактически дает
возможность определить корреляцию фаз проекций а". Более того, выбор
начального условия при К > 1 является несущественным. Поэтому
Яп - I ое01 (ап"> (2.3)
где скобки "..." означают, как и ранее, интегрирование по фазе. Таким
образом, усреднение выражения (1.11) по начальной фазе определяет (с
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed