Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если термин "стохастичность" употребляется только в том смысле, в котором
он определен для классическпх систем, то нетрудно видеть, что при условии
динамика системы определяется существенно квантовыми законами. Другими
словами, при выполнении неравенства (5.38) классический предел сильно
отличается от истинных средних значений операторов, несмотря на то, что
ортодоксальноое условие так называемого квазпклассического приближения
(5.35) выполнено (большие квантовые числа). Поэтому значение ? ~ 1 можно
принять в качестве квантовой границы стохастичности.
Полезно также обсудить, почему ранее не возникал вопрос о том, что кроме
обычного неравенства (5.35) необходимо еще выполнение дополнительного
условия (5.37) для того, чтобы квазиклассическое приближение имело хоть
какой-то смысл. Это легко понять, если обратиться к тому представлению
для ?, которое дается формулой (5.36). Для устойчивых динамических систем
(при % = 0) параметр К < 1. Поэтому обычное условие квазиклассичности
(5.35) автоматически приводило также к неравенству (5.37).
Однако в случае квантовых Я-спстем параметр К может быть велик по
сравнению с единицей. Поэтому даже при выполнении неравенства (5.35)
отношение К/х может быть любым. В этом и заключается нетривиальность
параметра ? для квантовых Я-систем.
Проведенный выше анализ показывает, что для квантовых /^-систем в любом
случае существует такое время, начиная с ко-
6<1.
(5.37)
?"1
(5.38)
12 г. М. Заславский
177
торого квазикласспческий подход перестает быть справедливым, и следует
обратиться к другому, существенно квантовому анализу.
Комментарии к гл. 9
1. При исследовании условий перемешивания в классических системах
Крылов [42] начал также работу по анализу квантовых систем. Попытка
исследования стохастичности квантового газа твердых шариков путем анализа
изменения волновой функции в результате рассеяния была предпринята в
работе [129]. Аналогичный путь использовался для объяснения ряда
экспериментальных фактов во множественном рождении частиц при
столкновениях высоких энергий [130]. Различные качественные соображения о
том, каков должен быть энергетический спектр системы в условиях
стохастичности, высказались в работах [131, 132]. Формулировка и
исследование ряда задач о квантовых ^-системах были проведены в работах
[73, 133-136]. В статьях [137, 138] содержится обзор результатов по
исследованию стохастичности в квантовых системах. Численный анализ
динамики квантовых ^-систем проводился в [139, 140].
ГЛАВА 10
СТОХАСТИЧНОСТЬ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
(продолжение)
Результаты предыдущей главы позволяют понять различие в динамике волновых
функций и средних значений операторов физических величин для устойчивых
(.К < 1) и стохастических (К^ 1) систем. Этот анализ показывает, что при
условии ?<1 существует такое время, в течение которого поведение системы
близко к классическому, а влияние квантовых поправок мало. В течение
этого времени можно пользоваться квазиклассическим приближением и
приписывать системе свойства, близкие к свойствам классических Я-систем.
Эта глава посвящена определению динамики квантовых Х-си-стем на больших
временах, когда квантовые поправки уже не малы.
§ 10.1. Квантовое отображение волновых функций
Формулы отображения. Вычисление средних значений. Обобщения
В § 9.2 мы уже показывали, каким образом может быть получено квантовое
отображение для волновой функции в представлении Шредингера (см. формулу
(9.2.6)). К сожалению, этот путь не очень удобен, так как необходимо
"распутывать" операторные функции. Рассмотрим другую модификацию метода
построения квантовых отображений [148] (ком. 1).
Пусть гамильтониан системы снова взят в виде (9.5.1). Согласно формуле
(9.2.6) имеем
фп+1 = ехр [-ie(a+ + а)] ехр [-1((c)а+а + Йц(а+а)2)Т]. (1.1)
Выберем в качестве начального состояния когерентное состояние: -фо - I
ot0>- Используя разложение (9.3.4), найдем результат действия оператора
ехр(-ШйТ/%) на произвольное когерентное
12*
179
состояние la): ехр (-? S.!1)-
)00
2 ГТЗп "Р1 (т* + *1""') Г11 ">•
' (1.2)
= fcwa+a + (а+а)2.
Воспользуемся представлением
00
ехр (- *йцГ/п*) = J d\F (|) ехр (- im\),
7 ( *Ег ^ (U)
Г(|) = (4тад-1/гехр(^).
Для сокращения записи введем интегральные операторы 00 00
Г(!)(.)= J dir(c)(•). f*(4)(-)" J *|Г*(л)(.). (1.4)
-00 -00
Подставляя разложение (1.3) в (1.2) и используя обозначение
(1.4), находим
ехр [- y Н0т) I a> = f (|) | a ехр [- i (<оГ + |)]>. (1.5)
С помощью формул (9.3.5) и (9.3.6) можно также получить следующее
соотношение:
ехр [- ie (a+ + a)] 16> = exp J^- ie (6 + 6*)] 16 - ">. (1.6)
Из определения (1.1) теперь легко записать выражение для ifi, используя
результаты (1.5) и (1.6):
Ъ - Р (I) ехР [- 4 *е ("о ехР I-* ((r)Г + ?)1 +
+ а" ехр р ((c)Т + I)])] I a0 ехр i (аТ + |)] - ie>. (1.7)
Аналогично можно выразить ip* через i?0 = |а"> и т. д. Продолжая таким
образом итерационный процесс, можно найти
¦и = |1 Р (Si) ехР [- у te ("{I}} + a* {?,})] | a{?"} - ie>, (1.8)
