Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(5.25)
(5.26)
а параметр p" определяется формулой
(5.27)
Из выражений (5.25)-(5.27) следует, что все квантовые поправки
пропорциональны параметру р. Для оценки величины р рас-
174
смотрим случай сильной стохастичности: К " 1. Тогда
In Iп 1П-1 1\ ( у ] ^т+1 ^ _
Т = 7-7- • •• т = ехр 2d 1п_г~
о yn-i 1п-г 1о \^о т )
"ехр[11п('+^)ЬЧ1^) (5-28)
где А 1т = 1т+1 - Im < 1т. Величина А/ зависит от фазы О. Поэтому в
показателе экспоненты в формуле (5.28) стоит сумма большого числа
случайных слагаемых. В сплу закона больших чисел
2 т2 (5.29)
I т п
т=0
где скобки "..." означают усреднение по фазе О(tm). Подставляя
(5.23), (5.28) и (5.29) в определение Р (5.27), находим окончательно
pn ~ -1- ехр |л ^2 In К + ~ -j ехр (2п In К) =
= -|-ехр(4 tjrc) (tn=nT). (5.30)
Итак, квантовые поправки в ^"-отображении (5.8) экспоненциально нарастают
со временем с показателем, равным по порядку величины инкременту
локальной неустойчивости соответствующей классической системы. Поэтому
формулы для ^-отображения (5.8) или (5.25) быстро становятся
неприменимыми [1331. Остановимся на этом эффекте подробнее.
Источником происхождения расходимости квантовых поправок являются
производные по начальным условиям. Эти производные возникли благодаря ^-
формам (3.17), которые имеются в каждом члене ^-отображения, связанном с
квантовыми поправками (см. формулу (5.9)). Выражения, аналогичные ^-
формам, имеют гидродинамическую аналогию. Они возникают при переходе от
уравнений гидродинамики в эйлеровой форме к уравнениям гидродинамики в
лагранжевой форме. Эта аналогия имеет естественное происхождение.
Действительно, квантовомеханиче-скпе уравнепия движения соответствуют
уравнениям движения среды, в то время как уравнения для проекции а, а*
соответствуют уравнениям движения жидкой частицы. Поэтому появление 10-
форм в членах, содержащих квантовые поправки, связано с сохранением в
уравнениях (5.8) или (5.25) информации о том, что система описывает
эволюцию во времени квантовой "жидкости". Расплывание волнового пакета
("растекание жидкой капли") происходит теперь не степенным образом, как
это было в примере (3.19), а экспоненциально со временем из-за
175
локальной неустойчивости системы. Покажем, что сделанное утверждение
вытекает из простых оценок.
Из уравнений (5.25) и (5.26) следует, что квантовые поправки остаются
малыми при выполнении условия
ЙцГр = ЕР < 1, <5.31)
где параметр ? определен формулой (4.3). Подставляя выражение (5.30) для
§ в (5.31), находим
t < h шш ± Те In | In jip. (5.32)
С другой стороны, время имеет простой физический смысл: это время
расплывания волнового пакета. Действительно, вследствие локальной
неустойчивости (см. формулу (5.23)) имеем
ДfKt) ~ Д0О ехр и/те). (5.33)
Величину ДО0 можно определить как неопределенность фазы на одном шаге
отображения за время Т, т. е.
до0~г|^|д/~г|^|й~ V1-
Подставляя ДФ0 в (5.33), находим Д0(f) ~ АцГ ехр Шхе).
Условие полного растекания волнового пакета по фазе ДОШ ~ 2я приводит к
выражению для времени расплывания, совпадающему
с величиной tji в формуле (5.32). Это и есть время, на котором квантовые
поправки в ^"-отображении становятся порядка единицы.
Рассмотрим неравенство (5.32) более детально. Пусть Д7 есть изменение
действия на один шаг отображения. Тогда Д7/7 ~ е, и можно ввести параметр
х = ДI/ll ~ е7/й, (5.34)
определяющий число квантов в возмущении. Очевидно, что ква-
зиклассическому приближению должно соответствовать неравенство
•к > 1, (5.35)
которое является более сильным, чем неравенство 7/%" 1. Нетрудно видеть с
помощью определений (4.3), (5.14), (5.15) и (5.34), что параметр ?; может
быть представлен также в виде
? = 47S7>c. (5.36)
Теперь мы можем показать, что параметр ? играет исключительную роль в той
связи, которая существует между квантовой динамикой и ее классическим
пределом при % -*¦ 0. Введем для этого следующее понятие. Будем говорить,
что на интервале вре-
178
ыени существует квазиклассическое приближение для системы, если на этом
интервале поправки к средним значениям операторов мало отличаются от
значений соответствующих классических величин, взятых в тот же момент
времени. Выше для одного примера устойчивой системы с гамильтонианом
(3.19) было показано, что условием существования квазпклассического
приближения на интервале времени Т является неравенство (см. формулу
(3.24))
Этот же вывод был получен в конце § 9.4 пз общих соображений о
расплывании волнового пакета для устойчивой системы. Покажем, что
неравенство (5.37) возникает и в случае квантовой /f-системы. Известно,
что для классической Я-спстемы минимальным характерным временем является
время те перемешивания в фазовом пространстве. Только на временах t > тс
могут проявиться стохастические свойства системы. Совмещение этого
условия с условием (5.32) снова приводит к неравенству (5.37) для
существования квазпклассического приближения на таких временах, на
которых могли бы проявиться стохастические свойства системы.
