Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 64

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 102 >> Следующая

ОО
Н = Йюа+а + 7г2ц (а+а)2 + ей (а+ + а) 2 в (* - кТ), (5.1)
Й=-ОО
а отображение (2.15) переходпт в следующее:
ап+х = ехр [- i (to + Йц + 2%\iatan) Т\ ап. (5.2)
Получим для уравнения (5.2) ^"-отображение в виде разложения по степеням
% [133, 134]. Задача проектирования уравнения (5.2) в базисе когерентных
состояний связапа с необходимостью нормально упорядочить правую часть
(5.2) по операторам ajf-, Од. Произведем сначала нормальное упорядочение
экспоненты:
00
ехр (sa^On) = 2 4г (апап)р. (5-3)
Р=0
С помощью формул (3.16), (3.17) получаем
(а?ап)р = # |(а^а")р + р (а^ап)р_1^ (а^, ап) +
+ ±.р{р- 1) (а+а")р-2 Я- (<?, ап)} + О (Й2), (5.4)
где для сокращения записи вместо выражения а") и
+(•№) / + \
ап ("о * ао) под знаком оператора N пишется соответственно ап и а\. Кроме
того, обозначено
((r)п * (r)п) = &п20 ((r)n> ) "Ь Яп(r)п 3) (ящ ап ) "Ь
+ atan?) (at, ап) + (а?)2 ?> (ап, ап). (5.5)
171
Подставляя (5.4) в (5.3) и выполняя суммирование, получаем
ехр(sajj'fltn) = ЛЧ[1 + s?>(a$, On) +
+ 'Us*Л {at, On)] ехр (sata")} + О (ft2). (5.6)
Аналогично находится соотношение
ехр (satdn) ап =
= N I ехр (satan) ап + $?> (ехр (sa?on), а,")] + О (ft2) =
= N [[о" + 2sorS (а?, ап) + V^Onj* (а?, а")] х
хехр(*а+а")} + 0(Й2). (5.7)
Теперь проектирование выражений (5.6), (5.7) на фазовое пространство
сводится просто к замене операторов а?, а" соответственно на а?, ап.
Подставляя формулы (5.5)-(5.7) в уравнение (5.2) и усредняя, находим
Оп+1 = ("П - йД"п) ехр I- i (ю + ЙЦ + 2ЙЦI a" |2) Т] + О (Й*),
(5'8)
^п = ап -18, а* = а* + ie, где поправка Да" обусловлена квантовыми
эффектами и равна Д(r)п = - 4tyTan& (о?, а") - 2*|лГа*?) (а", а") -
- 2VPaJtf (a*, On)- (5.9)
>¦4
Выражения (5.8) и (5.9) определяют искомое ^-отображение с точностью до
членов ~Й*. При А = 0 отображение (5.8) переходит в соответствующее
классическое отображение
a"+i = а" ехр [- i( о" + 2Йц1а"1*Ш. (5.10)
Для того чтобы перейти к классическому отображению в стандартной форме в
переменных действие - угол (/, ft), следует сделать в формуле (5.10)
замену
a" = (IJhf* ехр (- iftn), ": = (7"/Й)1/2 ехр (Юя). (5.11)
Подстановка выражения (5.11) в (5.10) дает
/*+1 = h (1 + 2е si п + е2),
(5.12)
Фп+1 = arctg + (йТ + 2ц77"|.
Отображение (5.12) является типичным для задач, связанных с нелинейными
колебаниями. Такие отображения изучались в гл. 4 (си., например, формулу
(4.1.1)). Для анализа уравнений
(5.12) рассмотрим производную
*К"---------i + + к см # (5.13)
dK 1 -}- 2е sin 6 + в
172
где обозначено
К = 4е|х0о)Г (5.14)
и введен безразмерный параметр нелинейности
|Хо = ц//<а. (5.15)
Индекс п в правой части уравнения (5.13) для сокращения записи опущен.
Определение (5.14) для параметра К совпадает с формулой (4.1.11). Все
результаты § 4.1 могут быть перенесены для отображения (5.12). В
частности, при К"1 движение осциллятора является условно-периодическим.
Условие
К> 1 (5.16)
определяет появление стохастичности.
Напомним некоторые основные свойства модели (5.12), если выполнен
критерий стохастичности (5.16). По переменной О происходит быстрое
перемешивание, и корреляция фаз Ф экспоненциально расцепляется:

d% ехр [- i (fln - fl0)] ~ exp [- nT/xc], (5.17)
о
где время релаксации те равно (при К > 1)
Те = 27У1п К. (5.18)
По переменной I происходит медленная диффузия, описываемая уравнением
(при е < 1)
а/(/,*) 1 д ndf(i,t) /с
-ft------Tdi ~~di '
где /(/, t) - функция распределения состояний системы по действию и D -
коэффициент диффузии:
D = ггР/Т. (5.20)
В частности, из уравнений (5.19) и (5.20) следует, что
</(*)> = </(0)> + еН/Т, (5.21)
где
</(*)>= jdf
Таким образом, динамика классической системы выглядит следующим образом.
На малых временах порядка т" происходит процесс перемешивания по фазе Ф,
и на больших временах порядка
td = 2P/D = 2Т/г* (5.22)
развивается диффузия по переменной 7. Из (5.18) и (5.22) следует , что
Те/Td = е*/1п К " 1.
173
Закончим описание свойств классического предела модели
(5.12), приведя некоторые характеристики локальной неустойчивости
системы. Пусть выполнено условие стохастичности (5.16), причем К "> 1.
Тогда
дЬ
(tm) ...??~*" = exp(nlnJQ. (5.23)
^-дьп_гдьп_2 ••• дЪ0 Используя выражение (5.11), можно записать
да.
дд
дап да0 дап да*й _ ( дап , дап\
- V ъ*<)'
Так кап
•п & | ап |_"/ .Л \ •" д?п
Щ ~ ~Щ~ Р - 3 V
то оценка (5.23) приводит к следующему выражению:
Яп = ехр(л1пЯ), (5.24)
дап
т. е. комплексные амплитуды а и а* обладают свойством локальной
неустойчивости с тем же инкрементом неустойчивости, что и для фаз.
Воспользуемся теперь приведенной выше информацией для анализа квантовых
поправок в 3~-отображении (5.8). Подстановка выражения (5.11) в формулы
(5.8) и (5.9) дает с точностью до членов и е* отображение в переменных
(/, 0):
/п+1 = /п (1 + 2е sin + е2) + 47фГР" (Д/)Л,
0"+i" + ((c) + Лц) Т + 2ц77"+1 + гйцГРп (Д0)л,
где (Д/)д и (Д0)д в квантовых поправках выражены так: (Д/)л = -1п {sin +
cos On +]
+ е (2 + 2 cos 20" - sin 20n - cos 0")}, (ДФ)л = 1 + 2ea (1 + sin(r) 0"),
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed