Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
быть регулярным и имеет ограниченное время применимости. Действительно,
из выражения (3.24) следует, что все квантовые по* правки, получаемые в
виде ряда по степеням Й, расходятся со временем. Они остаются малыми на
временах t < ta, где
U - 1/ц7Иа| ~ Taf\a\. (3.26)
Мы увидим дальше, как это обстоятельство оказывается существенным для
динамики квантовых Я-спстем.
§ 9.4. Расплывание волновых пакетов
Роль нелинейности. Время расплывания "свободного" волнового пакета.
Условие существования квазиклассического приближения.
Проведем качественный анализ полученных в предыдущем параграфе
результатов о динамике в фазовом пространстве проекций. На первый взгляд
кажется, что если выполнено неравенство
lal2 ~ I/П > 1, (4.1)
где I - характерная величина действия классической системы, то состояние
системы близко к классическому. Однако существование условия (3.26)
вынуждает нас отнестись к этому выводу с большим вниманием.
Действительно, пусть динамические процессы в системе в классическом
пределе определяются некоторым характерным временем Т. Тогда ясно, что
при Т <ta (время U определяется формулой (3.26)) мы попадаем в область,
где квантовые поправки малы. Наоборот, обратное неравенство Т"f0
показывает, что процесс в том виде, в котором он описывается классическим
пределом задачп, не может реализоваться и квантовые поправки к нему
оказываются немалыми. Иными словами, неравенства (4.Л явно недостаточно
для применения квазиклассического приближения на характерных временах ~Т.
Это приводит нас к необходимости остановиться более детально на
рассмотрении физических причин, приводящих к формулам (3.24),
(3.26),
Поскольку в квантовой механике мы всегда имеем дело не с отдельной
траекторией системы, а с волновым пакетом, то естественно рассмотреть
сначала эволюцию некоторой области в фазовом пространстве, заполненную
частицами (ячейку фазовой жидкости). Пусть, например, такими частицами
являются линейные осцилляторы, имеющие все одинаковые частоты. Тогда
ячейка фазового пространства перемещается без деформации границ.
16в
В квантовой механике этому обстоятельству соответствует возможность
построить нерасплывающийся волновой пакет (когерентное состояние). Иначе
обстоит дело в нелинейном случае. Частоты осцилляторов зависят от их
энергий (т. е. от величины действия). Поэтому частицы из различных
участков фазового пространства движутся с различными скоростями. В
результате происходит искажение формы границы ячейки (рис. 9.2). Фазовая
ячейка расплывается, а профиль "фронта" ее границы укру-чается (рис.
9.3). В результате появляется многозначность в форме границы ячейки,
которая аналогична появлению многозначных течений в гидродинамике прп
опрокидывании фронта нелинейной волны.
Описанному процессу классической механики соответствует в квантовой
механике отсутствие нерасплывающихся волновых пакетов в тех случаях,
когда система является нелинейной. Пусть, например, начальный волновой
пакет локализован в области (Л/0, А0О) соответственно по действию и по
фазе. С течением времени расплывание пакета должно приводить к полной
неопределенности по фазе ДФ ~ 2я. Пусть, например, система является
нелинейным осциллятором с частотой "(/). Тогда максимальное значение для
времени расплывания по фазе волнового пакета дается величиной
Таким образом, существенное влияние квантовых эффектов должно проявляться
на временах t > тл- Мы пришли к тому же результату, что и при точном
анализе для частной модели (3.19) (сравните формулу (3.25) с формулой
(4.2)).
Введем параметр
где время Т определено в начале параграфа. Тогда следует ожидать, что
если выполнено условие ? < 1, то существует некоторый интервал времени,
большой по сравнению с Т, на котором поведение системы близко к
классическому и квантовые поправки малы. Наоборот, при ?"1 квантовые
эффекты становятся существенными уже на временах, меньших чем Т. Значение
Рис. 9.2. Динамическое расплывание ячейки фазовой жидкости.
Рис. 9.3. Укручение "фронта" ячейки фазовой жидкости.
(4.2)
(4.3)
170
? ~ 1 можно принять в качестве границы области существенно квантовой
динамики системы. Заметим, что неравенство (4.1) может выполняться
независимо от значений параметра ?. Поэтому условие квазиклассичности
выражается в двух неравенствах: неравенство (4.1) и неравенство ?<1.
Мы еще неоднократно будем возвращаться к обсуждению роли параметра ? по
мере анализа дипамики квантовых ^-систем.
§ 9.5. 3~ отображение и условие стохастичности (приближенный анализ)
Вывод ^-отображения. Классический предел. Квантовые поправки и S-формы.
Экспоненциальная расходимость квантовых поправок. Квантовая граница
стохастичности. Область квазиклассичности и условие ее существования
Рассмотрим уравнения (2.15), которые задают квантовое Т-отображение для
гейзенберговских операторов a+(t), a(t) системы с гамильтонианом (2.9).
Будем считать для определенности, что невозмущепный гамильтониан Н0 имеет
форму (3.19). Тогда гампльтониап (2.9) с учетом (2.7) приобретает вид
