Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 62

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 102 >> Следующая

= QiK>, поскольку они представляют один и тот же оператор в различных
формах. В выражении (3.10) предполагается также, что функция Q разложима
в степенной ряд. Из определений (3.8) и (3.9) следует правило
проектирования
<<?> = <QlN) (во+, "о)> = QiN) ("0*. "о), (3.11)
т. е. после приведения операторной функции Q(a+, а) к нормальной форме
@(iV)(ao\ а0) вычисление среднего значения <@(Л)> сводится просто к
замене операторов aj}" и а0 соответственно на с-числа.
Опишем теперь, как должен выглядеть метод отображений в фазовом
пространстве (а*, а0). Пусть, например, гейзенберговские уравнения
движения для операторов a+(t) и a(t) заданы в виде квантового отображения
(2.15) или в общем виде (2.16). Тогда операторы а* и ап могут быть
выражены через начальные условия и Oq'.
ап = й]i (а#, Яд), О-n ~ &п ("о < (r)о)>
где правые части представляют собой некоторые операторные функции.
Используя определение (3.9) н правило (3.11), получаем
"п = <fln> = а<ю (а*, а0),
* У +Ч +<ЛТ)/ * \
"п = <"С> = а (."о, ао/-Эти выражения показывают, что оператор сдвига в
пространстве проекций введенный выражениями (2.18) и (2.19), зависит
также от начальных условий в явной форме, что и порождает его
немарковский характер.
В большинстве случаев решение гейзенберговских уравнений движения
является невыполнимой задачей. Однако именно это предстоит сделать для
того, чтобы упорядочить операторы а%, ап относительно начальных
операторов aj, а0. Поэтому следует рассмотреть возможные приближенные
методы решения этой задачи. Рассмотрим задачу о нормальном упорядочении в
случае, близком к классическому, и получим правпла нормального
упорядочения в виде разложения по степеням fi [133, 134].
166
Обозначим через N оператор нормального упорядочения по
т. е. в выражении, стоящем под знаком оператора N, можно про-
были с-числами. Обратим внимание на следующие соотношения, вытекающие из
определений (3.10) и (3.13):
Из выражений (3.11) и (3.16) находим формулу для проектирования
произведения двух операторных функций в виде разложения по степеням Ъ:
Аналогичным образом можно получить формулы проектирования и для более
сложных выражений [1471. Полученные формулы проектирования в виде
разложения по степеням % будут использованы в следующем параграфе.
Сделаем замечание относительно уравнений движения для проекций.
Рассмотрим канонически сопряженную пару ^переменных (р, q) и
соответствующую им пару операторов (/>, q). Уравнения движения для
классических переменных (р, q) являются гамильтоновыми. Однако уравнения
движения для средних (</>>, <<?>), вообще говоря, гамильтоновыми не
являются. Исключение составляют системы с квадратичным по р, q
гамильтонианом (например, линейный осциллятор). Приведем пример,
иллюстрирующий сделанное утверждение [147].
#1("о)М"Лв)=("о+)в("о)Р,
(3.13)
извольно переставлять операторы aj и а" так, как если бы они
(3.14)
Разложение выражения (3.14) по степеням % дает
= Q[N)QiN) = N ItfV,1'0 +п?> (Q[n\ О) + 0 (Ь2), (3.16)
(3.17)
167
Вместо операторов (р, q) удобно рассмотреть операторы (а+, а),
выражающиеся через их линейные комбинации. Пусть гамильтониан системы
равен
Н0 = Пе>а+а + %гц(а+а)\ (3.19)
Тогда уравнение движения имеет вид
id = (ю + Йц,)а + 2Нца+аа. (3.20)
Уравнение для с+ получается из (3.20) эрмитовым сопряжением. Поскольку
величина а+а коммутирует с гамильтонианом, то нетрудно записать решение
уравнения (3.20):
а (t) = ехр [- i (ю + %ц + 2Йцл+а) i] а0 =
= ехр [- i ((c) + %р + 2Йца^а0) t] а0, (3.21)
где а0 = а(0) и соответственно - а+(0). Воспользуемся известной формулой
нормального упорядочения [146] и перепишем (3.21) в виде
а (t)= ехр [- i ((c) + ftfi) t] х
X W[exp [(exp (- 2ffcfif) - 1) a0+ Яо] я<>Ь (3.22)
*^4- ~
где знак тильды "~" означает, что величины а0 и а0 следует рассматривать
под знаком оператора N как с-чпсла. Согласно определению (3.11) из (3.22)
находим
а (0 = <ао Iа (01 ао> -
= ехр [- i (со + %i) f] exp [(exp (- 2гйц*) - 1) | а012] a0. (3.23)
Выражение для a*(f) получается из (3.23) комплексным сопряжением.
Рассмотрим теперь фазовое пространство (а*, а) и вычислим изменение
фазового объема на траектории (a*(i), a(.t)). Имеем
да (t) да (t)
J(t) =
дао 0а*0 да* (t) да* (t)
дао 9а*
о
= (1 - 41 а012 sin2 %\xt) ехр (- 41 а" |2 sin2 %nt). (3.24)
Таким образом, фазовый объем осциллирует со временем с периодом
Т0 = п/Ъ\1. (3.25)
В моменты времени tn = nTa Ы = 0, 1, ...) величина /(f) обращается в
единицу.
Исходные уравнения движения для гейзенберговских операторов a+(f) и a(t)
имеют гамильтонов вид. При проектировании этих уравнений с использованием
любого базиса (в том числе
168
в базиса когерентных состояний), вообще говоря, не обязательно, чтобы
уравнения движения для проекций имели ту же гамильтонову структуру.
Однако в данном случае уравнения для проекций a*(t) и a(t) должны в
пределе И-+-0 переходить в классические уравнения движения, которые
являются гамильтоновыми. Отсюда следует, что разложение по % не может
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed