Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
aUo + O) =а(*0 - 0) - "е. (2.13)
Введем следующие обозначения:
ап = апЫТ - 0), an+i = a((ra + 1)Г - 0). (2.14)
Объединяя выражения (2.12) и (2.13) и подставляя ох в (2.14), находим
искомое отображение
ап+1 = ехР [- i(c) (ап Яп) Т\ ап, ^ ^
"п+1 = "п ехр [г'(о(а^а") Т],
где ап = ап - te, at = at + гг. Формулы (2.15) определяют квантовое Г-
отображение гейзенберговских операторов:
((r)п+1" (r)n+i) = Т (an> at )• (2.16)
Следующий этап исследований связан с анализом отображений (2.6) и (2.16).
До сих пор (в классических задачах) мы рассматривали отображения векторов
с конечным числом элементов. В квантовой механике отображение (2.6)
записано для поля ф(<7, О. Отображение (2.16) получено для операторов,
для которых поля являются собственными функциями. Одним из методов
анализа таких отображений является проектирование их на некоторое
пространство [133, 134] и последующий анализ проекций. Остановимся на
этом вопросе подробнее.
Выберем некоторый базис, состоящий из векторов <-| и | *>.
Квантовомеханпческпе средние операторов а, а+ находятся из выражений
а = <-|а| •>, а* = <-|а+| •>. (2.17)
11*
163
Они и определяют пространство проекций (а, а*), которое может выполнять
ту же роль, что и фазовое пространство в классической механике.
Проектирование (усреднение) отображения (2.16) дает
((r)n+ii (r)n+i) = Ol Т (яп> (2-18)
Выражение (2.18) не имеет замкнутой формы, так как правая часть не
выражена в виде функции от (а", а*). Еслп бы это удалось сделать, то мы
пришли бы к отображению типа
((r)n+i, а*+1) = Т (а", а*), (2.19)
которое уже записано для конечномерных векторов (в данном случае -
двумерных1).
Если оператор не зависит от(а"_1, а*_!;...;а0, а0), то он обладает
марковским свойством. Именно такая ситуация реализовывалась во всех
рассмотренных до спх пор случаях классических задач. Однако, как будет
видно далее, в квантовом случае оператор перестает быть оператором
марковского типа.
§ 9.3. Проектирование в базисе когерентных состояний
Когерентные состояния и их свойства. Нормальное упорядочение и
проектирование. Разложение по степеням ft. Негаыильтоновость уравнений
для квантовоыеханических средних. Расходимость разложения по ft.
Выбор базисных функций <•! и 1-> для получения оператора реализующего
отображение проекций в формуле (2.19), в достаточной степени произволен.
Удобно выбрать базис когерентных состояний, который определяется как
левая и правая функции операторов а* и а:
<а1а+ = а*<а1, а1а> = а1а>. (3.1)
Когерентное состояние было построено Шредингером для линейного
осциллятора как пример нерасплывающегося волнового пакета. Формализм
когерентных состояний был введен Глаубером [141]. Приведем некоторые
необходимые сведения о когерентных состояниях [142, 143J.
Состояние 1а> представляет собой гауссовский волновой пакет:
••>-(агГ Ч-((згГ*-")' + т-'тЧ <м>
с минимальным соотношенпем неопределенности АрАх = %/2.
Система когерентных состояний обладает свойством полноты. Разложение
единичного оператора 1 в базисе когерентных состояний имеет вид
J d2" | а) <а | - Т, d2a = d(Reoc) d(Ima).
164
Базис когерентных состояний является переполненный. Поэтому одно
когерентное состояние может быть выражено через другие когерентные
состояния:
1а> = т1й2Рехр(аР*-т1а12-т1Р|2)>Р>==
= -iJd2P<P|a>|p>. (3.3)
Состояние |а> может быть разложено по состояниям чисел заполнения:
00
| "> = ехр (- 4 I a I2) 2 ^7-21"> = ? ("> 10>, (3.4)
л
где Diet) - оператор сдвига:
Ь{а) = ехр (aa+ - а*а). (3.5)
Закон умножения для операторов сдвига имеет вид
D (a) 5(P) = S(a + р) ехр [-? (ар* - а*Р)]. (3.6)
Когерентные состояния не ортогональны, но обладают конечной областью
"перекрытия":
I < РI a> I* = ехр (- | а - р |2), ^
<p|a> = exp(--i|p|2--i|a|2 + p*a).
Когерентные состояния могут быть выбраны в качестве состояния
произвольной системы, взятой в некоторый фиксированный момент времени U
[142-144]. Последующая эволюция системы приводит к разрушению
когерентного состояния, так как волновые пакеты произвольной нелинейной
системы расплываются со временем (это свойство нелинейных систем было
отмечено еще Паули [145]). Исключение составляют системы с квадратичными
гамильтонианами [143] и некоторые специальные случаи нелинейных систем.
Обозначим через lao) и <а01 когерентные состояния в начальный момент
времени to = 0, а через а0 и -начальные значения гейзенберговских
операторов а и а+. Тогда в соответствии с определением (3.1) имеем
а01 ао> = "о I ао>. <ао I at = <ао |> ^ ^
а0 = а (0), at = а+ (0).
Пространство переменных (а0, а*) назовем фазовым пространством. Для любой
операторной функции @(a<n а0) ее проекция на
165
фазовое пространство определяется выражением
<@> = <ао 1 @ (а(и ав)|ао)- (3-9)
Обозначим через Q(N) (<*о\ я0) функцию Q (а^, а0), нормально
упорядоченную по операторам ад, а0. Это означает, что функция Q(N) (aj~,
а0) представлена в форме
(ао\ а0) = 2 Qki (во )к ао> (ЗЛО)
k,i
т. е. все операторы стоят слепа, а операторы а0 - справа. Заметим, что Q
