Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
квантовых чисел.
Отсутствие "чисто квантового" языка для анализа проблем устойчивости и
стохастичности создает определенные трудности в постановке задачи для
квантовых систем. Даже использование квазиклассического подхода, как это
будет видно дальше, оказывается недостаточным. Тем не менее можно указать
следующий "ограниченный" вариант проблемы стохастичности в квантовых
системах. Пусть
Н = Н(р, q, t) (1.4)
есть оператор Гамильтона квантовой системы и р- (pt, рг, ...), 9 = (<7")
•••') - соответственно операторы импульсов и коор-
динат *). Назовем систему квантовой Я-системой, если соответствующая ей
классическая система, получаемая пз (1.4) при % - 0, обладает свойством
стохастичности. Тогда задача заключается в том, чтобы описать динамику
квантовых Я-систем.
*) В частном случае гамильтониан Н может и не зависеть от времени.
160
Этот же вопрос может быть сформулирован в обратном варианте: как
квантовать классические /f-системы? Исследование этой задачи будет
проведено в настоящей и в следующей главах (ком. 1).
§ 9.2. Квантовые отображения
Отображение в представлении Шредингера. Отображение гейзенберговских
операторов. Проектирование на фазовое пространство. Отображение проекций.
Немарковость отображений проекций
Анализ классических систем показал, что переход от дифференциальных
уравнений движения к уравнениям в конечных разностях (отображениям)
приводит к существенному упрощению задачи. Естественно и в квантовом
случае начать анализ с такой системы, которая бы допускала построение
отображений. Рассмотрим систему, определенную гамильтонианом
В классическом пределе, когда переменные (р, q) становятся с-числами,
система (2.1) совпадает с (4.1.3) (она подробно исследовалась в § 4.1).
Как отмечалось в § 4.1, особенностью системы (4.1.3) является не только
определенное удобство в построении дискретного отображения, но и то, что
структура этого отображения является универсальной для гамильтоновых
систем с одной степенью свободы, возмущаемых нестационарными силами. С
физической точки зрения система (2.1), так же как и (4.1.3), представляет
собой нелинейный осциллятор, на который действует периодическое
возмущение с очень широкой полосой частот.
Состояния системы (2.1') можно определить волновой функцией f),
удовлетворяющей уравнению Шредингера:
л = Hip (q, t) = [?0(р, q) + е?(I 0] (?, t). (2.2)
Построим отображения для волновой функции i|>(g, t). Обозначим
Я = Я0(р,?) + е?(м),
(2.1)
00
г) = F(?)г s b(t-kT).
ft=-ао
= У (?, *п) = У (q, пт + 0), tn =пТ ± 0.
Представим формальное решение уравнения (2.2') в виде
(2.3)
(2.4)
11 г. м. Заславский
161
Используя представление (2.4) и определение (2.3), получим 1|з"+1 - ехр
- + * +
п+1 Л *71+1 /•
-Т I Sdt 1]зп = ехр -т j 8dt
.+
*П *n+l
хя|>(g, tn+1) = ехр
- """
n +1 *n+l
-T j 8* exp -xl Sdt
.+
*n+l
1|з". (2.5)
На интервале (*?, *п+1) возмущение V(q, t) = 0, и происходит свободное
двпженпе системы. На интервале (*n+i> *n+i). наоборот, вклад в интеграл J
Н dt дает только возмущенпе V(q, t) из-за наличия в нем 6-функции.
Поэтому нз (2.5) вытекает следующее уравнение:
i|)n+1 = ехр [- у tTV (g)] ехр [- -jr Я0г] я|>п.
(2.6)
Формула (2.6) является квантовым отображением в представлении Шредингера.
Трудность в его итерировании связана с не-коммутпруемостью операторов
V(q) н Н0.
Рассмотрим теперь отображение операторов в представлении Гейзенберга.
Введем бозонные операторы рождения и уничтожения а+ и а, удовлетворяющие
соотношению коммутации
[а, а+] = 1.
Связь между операторами (а, а+) и (р, q) может быть достаточно
произвольной. Рассмотрим, например, обычные соотношения
а = U2m(dh)~l/2(p - im&q),
а+ = - i(2m(sifi)~in (р + imaq).
Далее примем для простоты следующий вид гамильтониана (2.1):
Н = Н0 {а+а) + eV (а+, а, t),
(2.7)
(2.8)
V (а+, a, t) = % {a+ + a) 2 6(t-kT).
ft=-00
Представление (2.8) имеет простой смысл. Из (2.7) следует, что величина
<а+аУ соответствует в классическом пределе безразмерному действию (7/Й),
а комбинации операторов а+ + а соответствует координата. Таким образом, в
классическом пределе выражение (2.8) переходит в следующее:
Н =Н0 (/) + (2mcoft)1/2 eg 2 6(t - kT).
к=-оо
(2.9)
162
В гамильтониане (2.9) структура возмущения означает так называемый
дипольный характер взаимодействия осциллятора с полем. Если выразить
координату q через переменные действие - угол (/, •&), то мы приходим к
выражению типа (4.1.3). Гейзенберговские уравнения движения имеют вид
ОО
iha = [а, Я] = й(c)(а+а) а + ей 2 6(f - кТ), (2.10)
fc=-оо
где обозначено
%<й(а+а)а - 1а, Н0(.а+а)]. (2.11)
В интервале времени (ft, t2) между двумя 6-импульсами величина п = а+а
сохраняется. Поэтому эволюция оператора ait) определяется, согласно
(2.10), преобразованием
аЦг) = ехр [- t(o(a+a)U2 - if1)]a("1). (2.12)
Пусть теперь 6-импульс возмущения действует, например, в момент времени
tB. Тогда, интегрируя выражение (2.10) в окрестности точки to, находим
