Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
проблемы устойчивости в классической и квантовой механике. Рассмотрим
движение частицы в потенциале, изображенном на рис. 9.1. Если
классическая частица с энергией Е движется вблизи горба потенциала, то
малое возмущение может превратить финитное движение в инфпнитное.
Траектория частицы оказывается неустойчивой относительно такого
возмущения. В квантовом случае весь энергетический спектр системы
является непрерывным, а движение - инфинптиым вследствие туннелирования
под барьером. Малое возмущение потенциала не приводит к изменению
характера спектра системы, а изменение волновых функций пропорционально
величине возмущения.
В классической механике методы анализа стохастичности не различают того,
действуют ли на систему внешнне силы, завн-158
Рис. 9.1. Малое возмущение потенциала превращает фшитпое движение
классической частицы в инфи-пптное.
сящие от времени, или система является замкнутой и стационарной. В
квантовой механике приходится выделять два типа задач: 1) задача об
эволюции системы под действием нестационарных возмущений и 2) задача об
энергетическом спектре и волновых функциях в стационарном случае. Второй
тип задач не имеет аналога в классической механике. Он и порождает ряд
"необычных" вопросов.
Известно, что в квантовой механике правила квантования для определения
энергетического спектра связаны с независимыми интегралами движения
системы (квантовые числа должны быть интегралами движения). В
классическом пределе стохастич-ность приводит к разрушению интегралов
движения. В квантовой механике этому должно соответствовать разрушение
квантовых чисел. Каковы должны быть правила квантования в этом случае?
Этот вопрос можно расширить следующим образом. В классической механике
существуют неинтегрпруемые задачи (например, задача трех тел).
Непнтегрируемость (см. гл. 1) связана с возникновением стохастичности (и
с разрушением некоторых интегралов движения). В квантовой механике вопрос
о не-интегрируемости до сих пор не ставился. Определенное влияние здесь
оказала иллюзия линейности уравнения Шредпнгера. Как будет видно далее, в
квантовой механике классически неинтег-рцруемая задача требует совсем
иного подхода.
Еще один пример указывает на типичную ошпбку, связанную с отсутствием в
квантовой механике четкого понятия, которое являлось бы аналогом понятия
интегрируемости в классической системе. Рассмотрим систему из двух
связанных нелинейных осцилляторов (например, модель Хенона - Хейлеса в §
5.3). При достаточно малых энергиях системы (и, следовательно, малых
нелинейностях и связи) можно с заданной степенью точности
диагонализировать гамильтониан и представить его в виде суммы
гамильтонианов для двух степеней свободы. Гамильтониан каждой из степеней
свободы является интегралом движения. Таким образом, состояния всей
системы описываются набором из двух независимых квантовых чисел (rh, пг).
Полная энергия системы может быть выражена как функция этих чисел:
Е = Е{пи пг)=Е1{п1) + Ег{пд, (1.1)
где Е1, Ег-энергии каждой из нормальных степеней свободы. В квантовом
случае считается, что при включении между подсистемами взаимодействия (по
крайней мере, достаточно большого) понятия квантовых чисел и, и пг
исчезают. Не существует также волновых функций подспстем. Смысл сохраняют
только полная энергия и волновая функция всей системы. Именно с этим
утверждением и связана распространенная ошибка. Не только (!) полная
энергия является интегралом движения.
Для понимания того, что здесь происходит, рассмотрим сначала задачу в
классическом пределе. При малых взаимодействиях
15"
существуют два действия 7t и 1г, которые являются также
интегралами движения. Кроме того, можыо представить Е в виде
E = EUt, /2) =E(It) +Е(1г). (1.2)
С увеличением энергии взаимодействия разделение (1.2) невозможно, однако
энергию системы по-прежнему можно представить в виде
Е = E(Ti, TV). (1.3)
Можно сказать, что в случае (1.2) интеграл энергии является аддитивным, а
в случае (1.3) - неаддитивным. Однако, как и ранее, есть два интеграла
движения (действия Ти Тг). Поэтому снова можно ввести два квантовых
числа, и энергия системы будет двухпараметрической функцией. Дальнейшее
увеличение энергии взаимодействия может привести к появлению
стохастичности. Тогда один из интегралов движения исчезнет п только
полная энергия Е (или функция от нее) останется инвариантом движения.
Таким образом, даже при сильных взаимодействиях между разными степенями
свободы может существовать ровно столько квантовых чисел (и
соответственно столько же базисных систем волновых векторов), сколько
степеней свободы в системе. Найти их, однако, непросто.
Приведенные выше рассуждения основаны на классическом анализе. Это
обычный прием, если квантовая проблема рассматривается в
квазиклассическом приближении. Однако существуют ситуации, в которых
рассматриваемая задача является существенно квантовой. Примером могут
служить сильная связь между спином и орбитой и разрушение соответствующих
