Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
- угол. Уравнение диффузии нелинейной волны
Вернемся снова к уравнению (3.8) и перепишем его с учетом разложения
(3.9):
Н = - iea (Я) 2 пап (Н) 2 Фп" ехр [г (тгд - М)], (4.1)
п I
где нулевой индекс при Н для простоты опущен. В предыдущем параграфе был
рассмотрен случай одного изолированного резонанса
П(д(1т) = v
(переход от переменной Н к переменной I осуществляется с помощью формулы
(3.12)). В общем случае, когда резонансов много, их перекрытие означает
появление стохастичности. Задача
(4.1) с формальной точки зрения мало отличается от задачи о нелинейном
осцилляторе во внешнем поле. Некоторое отличие составляет лишь
определенная структура правой части в (4.1).
Обозначим через /",; то значение величины I, при котором выполняется
условие резонанса (3.10):
ию(/",;) = lv. (4.2)
Ближайшие к (4.2) резонансы находятся из условия
(и ± 1)о)(/"±1, i) = lv (4.3)
или из условия
ио)(/", J±1) = (I ± l)v. (4.4)
Найдем расстояние между резонансами бойое = 1о)(/"±о, 1±ц) - ю(/п. i) I,
а = 0,1, [1 = 0,1. (4.5)
В случае (4.3) имеем
". (I I \ I Ш2 (О
Подстановка (4.4) в (4.5) дает
6(Оо| = v/re = (л/1. (4.7)
Наконец, при больших п и I может оказаться существенным еще один случай:
= (4.8)
При п~ l> 1 и In - II ~ 1 величина 6(ои оказывается существенно меньше,
чем 6(i>,0 и 6(o0i, что вытекает из сравнения выражения (4.8) с (4.6) и
0?7).
Теперь можно записать условие возникновения стохастпчно-сти как условие
перекрытия резонансов
К - (A(o/min6(o)2 1, (4.9)
где ширина резонанса До = Q определяется формулой (3.17). Подставляя
формулы (3.12), (3.17), (4.6)-(4.8) в условие (4.9), получаем следующие
три случая:
8ел2 I а"Ф"ш' I к10 = -Ljp-!^l (n>i, i-i),
(О
= (n~i, г>1>, (4.10)
| л - г I v
Выполнение какого-либо из условий (4.10) означает, что фаза волны 0 (см.
(3.3)) становится случайной функцией и ее корреляция экспоненциально
убывает со временем.
Нелинейная волна покрывается случайной рябью, и ее эволюцию можно описать
с помощью кинетического уравнения. Для получения такого уравнения
убедимся сначала в том, что переменные (/,0) действительно являются
канонически сопряженной парой. Запишем гамильтониан возмущенной волны в
виде
Я = Я0[у, у] + еФ[у; х, *]. (4.11)
Ограничимся, как и в предыдущем параграфе, случаем т*,*] = 2г/-пФп(0.
п
Используя определение I в (3.12) и разложение для у в ряд Фурье в форме
(3.2), перепишем выражение (4.11) следующим образом:
Я = Я0 (/) + е 2 а-п (/) ехр (intf) Ф" (*). (4.12)
Составим из (4.12) формальные выражения / = - ff = - "*2 Па-п Ц) ехр
(inb) Ф" (*),
Нетрудно видеть, что уравнение для 1 эквивалентно первому уравнению в
(3.8). Прямым дифференцированием правых частей в (4.13) убеждаемся в
справедливости равенства
dl/dl = -дЬ/дЪ.
Отсюда следует, что переменные (/, О) являются канонически сопряженной
парой для гамильтониана в форме (4.12).
Теперь нетрудно записать уравнение Фоккера - Планка для функции
распределения /(/, ?), которое получается в результате усреднения по
случайной фазе О:
где коэффициент диффузии DU) определяется стандартным выражением
Здесь скобки ^!..." означают, как и ранее, усреднение по фазе. Время U
должно быть велико по сравнению со временем затухания фазовых корреляций
и мало по сравнению со временем диффузии. Подставляя в (4.15) выражение
для действия из
(4.13), имеем
Используя разложение (3.9) для Ф"(*) и удерживая в (4.16) лишь старший по
t0 член, получаем
Выражение (4.17) принципиально не отличается от формулы
(3.2.23) для нелинейного осциллятора.
Уравнение (4.14) описывает медленную диффузию параметров волны (энергии и
амплитуды) в поле периодического возмущения. Оценим величину D. Во многих
типичных ситуациях при
где а - амплитуда волны, и при n^N ая ~ ехр (- n/N).
(Например, для уравнения Кортевега - де Вриза 7 = 0.) Примем
154
д1= LJLDiDdJ. dt 2 61 ' dll
(4.14)
(4.15)
X J dt2Ф"х (У ф"а (t2) {ехр {t [пхО (fx) + n2# (<2)]}>.
(4.16)
0
D " Jte2 2 л21 an (I) |2 21 Фп" I2 6 (w(c) - lv).
(4.17)
n I
n^N
также для простоты, что в области допустимых значений I в формуле (4.17)
амплитуды Фп( приблизительно постоянны. Тогда величина D легко
оценивается следующим образом:
где Ф.~ 1Ф",|. Если, например, имеет место случай (4.7) б(c) = 6(c)oi, то
Д~ле2а2(/)Ф2 -. (4.18)
V
Величина N также является функцией /, и поэтому задача об эволюции
энергии Н (или действия I) волны оказывается замкнутой благодаря
уравнениям (4.14), (4.18).
Во многих реальных случаях связь между I, Н и N является степенной:
Н ~ kavi, to ~ ка?*, N ~ (1 /к) av", (4.19)
где для удобства все величины выражены через амплитуду вол* ны а. Из
определения I (3.12) и соотношений (4.19) следует
/ - av'-\ а ~ /1/(Vl~4 (4.20)
Подстановка (4.19), (4.20) в (4.18) дает выражение для коэффициента
диффузии волны:
D ~ ^(1+Vs)/(Vl_V2)- (4.21)
Уравнение эволюции волны (4.14) можно переписать теперь в виде
й = w2(l+Yg)/(Vj-Yg) df .. 99.
dt *3 61 дГ К*.**)
Отсюда следует, что для больших t
