Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 56

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 102 >> Следующая

возмущенной задачи (2.12) в виде
у (х, t) = 2 Уп ехр (inkx) = 2 ап ехр [in (кх - О)],
"/ • " (3.2)
Уп = ап ехр (- mv). '
Разложение (3.2) основано на граничном условии (2.2). В нулевом
приближении (е = 0) имеем, согласно (2.9),
Яэ = 0, Ь = со(Я") = ки(Но). (3.3)
При наличии возмущения имеем, в соответствии с формулой (2.17),
Я0 = [Я0, Я] = [Я0, Ях] = е [Н0, V] =
. V (дН0 dV [У, х, I] эш0 w [у; Xt t] \ /о /Ч
"'*1 )¦ (3-4)
Если возмущение W не зависит от "скорости" (т. е. от у), то
(3.4) можно упростить:
ад
п п
Уравнение (3.5) является точным. Более сложно получить уравнение для фазы
0. Из (3.3) и (3.5) следует, что уравнение для
0 имеет следующую структуру:
Ф = со(Я") + 0(е). (3.6)
Произведем простой качественный анализ уравнения (3.6). При значениях (о,
не слишком близких к нулю, изменение (о из-за возмущения имеет порядок
Дсо = \d(a/dH<,\AH. (3.7)
149
Это выражение необходимо сравнить со вторым членом в (3.6), имеющим
порядок е. Очевидно, что если отсутствуют какие-либо особые ситуации, то
согласно (3.5) ДН/Н ~ е. Поэтому оба члена в (3.6) имеют один и тот же
порядок по е.
Иначе обстоит дело в том случае, когда возмущение в (3.5) может содержать
резонансные члены. Появляются резонансные знаменатели, п Д/7 существенно
возрастает. Например, при нелинейном резонансе (см. § 1.3) ДЯ ~ е|/2, и
можно ограничиться укороченным уравнением
Ф = <a(H0(t)).
Как будет видно ниже, аналогичное положение имеет место п при резонансе
возмущения с нелинейной волной.
Ограничимся для простоты случаем, когда Ф в (2.1) не зависит от у.
Учитывая связь Фи?и подставляя в правую часть уравнения (3.5)
невозмущенное значение (3.2) для у", получаем
Я0 = - few (Я0) 2 пап (Я0) ехр (inft) Ф" (*),
(3.8)
-& = <й (Я0).
Система (3.8) является замкнутой н представляет собой укороченные
уравнения для эволюции нелинейной волны. Пусть возмущение является
периодическим по времени с частотой v. Разложим Ф"Ш в ряд:
Фп (0 = 2 Фпг ехР (- iZv0- (3.9)
i
Из (3.9) п (3.8) следует, что при выполнении условия
п<аШ,) - lv = 0 (3.10)
в некоторой точке Я0 = Я, возникает резонанс. Вообще, для каждой пары
чисел (га, I) может существовать значение Я(0П'!), при котором уравнение
(2.10) удовлетворяется.
Как и в § 1.3, рассмотрим сначала случай изолнрованноп> резонанса. Это
означает, что в уравнениях (3.8) основную роль, играет одпн резонанс
(3.10) в точке Яг, и всеми остальными членами в сумме в (3.8) можно
пренебречь. Система (3.8) принимает вид*)
1 = ъТ cos гр,
(3.11>
•ф = mail) - lv, где обозначено
(о(1) = <й(Н(1)) = дН/д1, У = 2я|о*||Фя |. (3.12>
*) Индекс 0 при Н для простоты записи опускается.
150
Уравнения (3.11) описывают изменение "действия" (/) и фазы (¦ф) в
окрестности резонанса (3.10). Относительная величина изменения Д/// мала.
Поэтому можно считать Т " const = У°(1Г) и разложить
Величина Ж является также эффективным гамильтонианом для нелинейного
резонанса с канонической парой (/ -/г, ф). Уравнение (3.13) совпадает с
(1.3.10), п поэтому дальнейший его анализ будет аналогичен. Из (3.13)
следует, что величина Д1 - 1 -It u if колеблются со временем, что
приводит к периодической модуляции параметров волны. Ширина резонанса по
действию равна
Фурье-амплитуды нелинейной волны а" являются функциями одной переменной
I, н поэтому их значения также периодически изменяются со временем
пропорционально Д/:
Аналогичное колебание испытывает и скорость волны, так как
Таким образом, при резонансном взаимодействии нелинейной волны с внешним
возмущением возникает своеобразное связанное состояние поля с волной. Это
взаимодействие в первом приближении не разрушает волну, а приводит к
периодической модуляции ее параметров во временн. Максимальное значение
частоты модуляции (частоты фазовых колебаний) согласно (3.13),
(3.14) равно
Велнчипа (3.17) определяет с помощью формулы (3.16) глубину модуляции
скорости волны:
Ширина резонанса (3.14), (3.17), (3.18) зависит от пространственного
спектра внешнего возмущения. Действительно, условие резонанса (3.10)
выделяет при взаимодействии n-ю гармонику
-i- (/ - /г)2 - 2гГ sin$ =
(3.13)
(3.14)
da II \
a"(I) = a"(Ir) + -^M.
(3.15)
u = i-(r)(/) = i-[(o(/r) + a>'(/r)A/].
(3.16)
Q = | to' (/г) | шах Д/ = Г | (r)' (/r) j]1'2.
(3.17)
max Дц = max tu(7) - u(/r)] = Шк.
(3.18)
151
волны, амплитуда которой входит в величину возмущения (см.
(3.12)). Так как при п>N амплитуды а" становятся экспоненциально малыми
(см. § 8.1), то отсюда следует, что ширина резонанса сильно уменьшается.
Причину этого легко понять из следующих рассуждений. Учтем, что ширина
горба нелинейной волны (в частности, ширина солитона) имеет порядок
с 1 _ Я
0t~TN~2nN'
Тогда условие n>N означает, что длина волны возмущенна меньше ширины
горба волны (или ширины солитона). Таким образом, возмущение является
мелкомасштабным и влияет на волну только некоторым усредненным образом.
§ 8.4. Стохастическая неустойчивость нелинейной волны
Расстояние между резонансами. Условия стохастичности. Переменные действие
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed