Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
в виде
Уч = ciyIX + F(y) + еФ(у, х, t), (2.1)
где Ф - возмущение, а е - безразмерный малый параметр возмущения. Зададим
также периодические по координате граничные условия, которым должно
удовлетворять решение
у(х + Х, t) = y(x, t) (2.2)
и возмущение
Ф(у(а: + Х), аг + Х, t) = Oiy, х, t). (2.3)
Разложим у в ряд Фурье:
у(х, t) = %yn ехр(inkx), у-п = у*п, (2.4)
П
где к = 2п/%. Аналогичное разложение можно записать для силы F и
возмущения Ф:
Р(У) = 2 Fn ехр (inkx), F-n = Ft,
Tl
Ф (у, х, f) = 2 фп ехр (inkx), Ф_" = Ф*.
П
Разложение F(y) в ряд пмеет следующий смысл. Пусть F(y) представляется в
виде следующего степенного ряда:
F(y)= 2
ft-о
Тогда
Fn = F(0)6n,0 +F(1)yn +Fw 2 Уп.Уп!.Ь(п - п1 - пг) +
Л1*Л2
+ ^(3) 2 Уп.Уп2УпЬ (n - n1 - n2 - n3)+... (2.5)
,111П2*Пз
Аналогично представляется разложение возмущения.
Используя приведенные разложения, можно переписать урав-нение (2.1) в
виде бесконечной системы
j'" + nWy"-F. = 8 Фп. (2.6)
В отсутствие возмущения (е = 0) системе уравнений
уп + пгк*сгуп - Fn = 0 (2.7)
146
может быть придана еще одна форма. Действительно, если рассматривать
только решение типа нелинейной волны, распространяющейся со скоростью ц,
то вследствие (1.2) разложение (2.4} представимо также в виде
у (х, t) = 2 "п ехр [ink (х - ui)], (2.8)
П
т. е.
у" = ап ехр (- inkut). (2.9>
Отсюда следует, что
у" - -пгкгиг, (2.10)
и из сравнения с (2.7) получаем интегральное соотношение
"2 = с2 + 4г^п. (2.11)
п к
которое является другой формой дисперсионного соотношения
(1.6) (величина FJn2, естественно, не зависит от га).
Гамильтонову форму описания для уравнения движения (2.1> можно ввести
различными способами. Один из простейших вариантов заключается в том, что
уравнение (2.6) рассматривается как уравнение движения частицы. Тогда
сразу можно записать, функцию Гамильтона в виде
Н = XU 2 (УпУ-п + п2к2с2упу .п) + У [у] + е? [у, х, <], (2.12)
П
где Vty] и Ч'Ту; х, f] - функционалы от у", составленные следующим
образом. Пусть V(y) и ЧЧу; х, t) разложены в степенные ряды по у:
V (У) = 2 V°V, чг (у; *, о = 2 Vю (*, 0 у\ (2ЛЗ>
ft=0 h=0
причем
jy-m to;*,!).
Определим теперь выражения
х х
У[у] = у j dxV(y)> Y [у; *, *] =§dx4(y,x,t), (2.14)
о 0
причем всюду в (2.14) под знаком интеграла следует подставить вместо у
его разложение в ряд Фурье (2.4). Тогда простые вычисления с учетом
(2.13) дают
V\y] = 2 Vw 2 Уп.Упt • • • ynhS("i + "2 + • • • + nh),
ft=0 ni*n2.....nh
(2.15)
y(y;^4 = 22 ч?(*) 2 Уп.Упe...ynhx
n h=0 nvn2,...,nk
X b(n + Пг + "2+ • • • + "*)•
10* 147
Нетрудно, в частности, заметить, что /?<*-*) = kVlkK
Гамильтониан в форме (2.12) существенно попользует граничные условия
(2.3). Представим его также в виде
Н = Н0 + Н1, Я, = еЧ7.
Уравнения движения (2.7) можно записать в следующем гамильтоновом виде:
d ¦ дН d дН .л,
я*-= - si-' <2Л )
Уравнения (2.16) легко обобщить для произвольного движения с непрерывным
спектром. Этот случай в дальнейшем рассматриваться не будет.
Пусть Q(y) есть произвольная функция у н @ = 0[у] - функционал от
компонент у", полученный аналогично Иу] (см. (2.14),
(2.15)). Тогда
" I °Уп ди диу-п ]
дУ-п дк
где введено определение скобок Пуассона [.,.].
Приведенные выше формулы и уравнения представляют собой тот аппарат,
который будет использован дальше для решения некоторых задач об эволюции
нелинейных периодических волн.
§ 8.3. Нелинейный резонанс
Укороченные уравнения. Нелинейный резонанс. Модуляция параметров
волны. Влияние пространственной структуры возмущения
Исследование возмущения нелинейной волны общего типа является трудной
задачей. Однако при определенных условиях мож-по достаточно простым путем
получить нетривиальные физические результаты. Опишем сначала качественную
сторону рассматриваемого ниже приближения.
В конце § 8.1 отмечалось, что нелинейную периодическую волну можно
рассматривать как волновой пакет, состоящий из ~N сильно связанных
плоских волн. Между амплитудами этих волн а" существует сильная
корреляция. Она формально выражается в том, что все а" являются
определенными функциями двух параметров: Н0 и к. Далее будем считать
нелинейность
148
волны очень сильной, т. е.
iV " 1. (3.1)
В этих условиях малые возмущения волны слабо изменяют интеграл энергии
волны Е, а также величину Н0 - Н0(Е). Одновременно мало изменяется и
скорость волны и = и(Я0, к). Вообще, следует ожидать, что спектральная
структура волны и число N также изменяются слабо. Все это является
следствием неравенства (3.1). Однако наиболее существенное утверждение
связано с тем, что спектральные гармоники волны находятся в сильной связи
между собой, и поэтому малые возмущения не могут разрушить эту связь.
Такова качественная сторона применяемого ниже приближения. Его формальное
выражение заключается в следующем (ком. 2).
Рассмотрим в качестве невозмущенного движения нелинейную периодическую
волну. Для нее справедливы соотношения (2.7)-
(2.11). Соответствующий ей гамильтониан равен Я0. Представим решение
