Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
137
Совершим в уравнении (3.5) преобразование Лапласа:
ОО
О
Это дает
/Рп) = f ехр (~pt)fn)(I,t).
pf? - fn) (/, 0) - <р (Qn.n-i/^L] + <?п,п+1/Ж]). (3.10)
pfp - f0) (/, 0) = - <р + С'од/Ди.]). (3.11)
Обратим внимание на то, что в выражении (3.12) не используются условия
(3.8), (3.9), соответствующие приближению хаотических фаз. Это
проявляется формально в присутствии членов, пропорциональных /(±1>(/, 0).
Более высокие гармоники начальных условий появляются при последующих
итерациях.
Переходя к асимптотике t т. е. р 0, и возвращаясь к ^-представлению,
находим
Уравнение (3.13) имеет простую структуру. Член порядка р сохраняет
информацию о начальных фазах системы благодаря наличию множителей
/(±1)(/, 0). Вся оставшаяся часть уравнения имеет фоккер-планковскую
структуру и соответствует кинетическому уравнению Пригожина - Браута.
Введем теперь новую (крупнозернистую) функцию распределения F(.I, t),
используя операцию огрубления по начальным фазам волн:
Отсюда следует уравнение для /р0):
Проведем итерацию (3.11) до членов ~р2 включительно:
*'¦ = - ip (ехр (- i [о] t) /(_1)(/, 0) + + (>0,1 ехр (i [о] t) fl) (/,
0)} +
(3.13)
где
где N - число степеней свободы, т. е. число возбужденных в системе
колебаний.
Применим оператор огрубления к уравнению (3.13). Это дает
- = _ ф {@0 (exp (- i [со] t)) /_1) (I, 0) + <?o,i<exP (* H 0> X
Обратим теперь внимание на то, что если частоты соь не зависят от
амплитуд (т. е. нелинейность в частоте отсутствует), то
^exp (±i[(c)]i)" = exp (±$[<йШ
и уравнение (3.15) не отличается от уравнения (3.13). Другимп словами,
операция усреднения по начальным фазам не приводит к кинетическому
описанию для случая частот, не зависящих от амплитуд.
Ситуация, однако, меняется, если учесть поправку б(c)*, связанную с членом
~ji2 в гамильтониане (3.1). Выражение для 6(c)" дается формулой (1.7).
Тогда в уравнении (3.15) фазовая память системы связана с корреляторами
(см. формулы (2.35), (2.36))
<*> = <ехР *М *" = <ехР <0)1)"-(ЗЛ6)
Пусть выполнены условия перемешивания (2.26). Тогда согласно (2.38)
корреляторы (3.16) экспоненциально затухают за время ~т", определяемое
формулой (2.39). Уравнение (3.15) переходит в следующее кинетическое
уравнение:
Сделаем, прежде всего, два технических замечания. Всюду в
(3.17) следовало бы писать не ю, а ю = ю + 6ю. Это, однако, привело
бы к появлению членов порядка ji', что является излишней точностью. В
уравнениях (3.10)-(3.12) величина (c)^считалась не зависящей от времени.
Вместе с тем величина ю, на которую следует заменить ю, является функцией
времени. Этой зависимостью также можно пренебречь, поскольку она является
очень малой по сравнению с со:
(3.15)
139
Если условие перемешивания (2.26) не выполнено, то корреляторы могут
убывать со временем не быстрее, чем
степенным образом, и их вкладом пренебрегать нельзя. В этом случае
кинетическое описание (3.17) пе возникает и память о начальных фазах в
системе сохраняется.
Мы показали, таким образом, что хаотизация фаз волны, описанная в § 7.2,
существенно используется при выводе кинетического уравнения (3.17) из
первых принципов. Последнее предполагает непосредственное использование
свойств динамики при движении с перемешиванием. Обратим также внимание на
то, что кинетическое описание (3.17) возникает для функции распределения
F(.I, t), определенной с помощью функции /(/, О, t) соотношением (3.14).
§ 7.4. Кинетическое уравнение для фононов
Введем понятие моментов функции распределения F{I, t):
Умножая уравнение (3.17) на 1к и интегрируя по всем /, получаем уравнение
Аналогичным образом можно построить бесконечную цепочку зацепляющихся
уравнений.
В теории твердого тела и в теории плазмы часто пользуются кинетическим
уравнением для фононов. Оно получается из (4.1), если предположить, что
вторые моменты расцепляются через первые:
Предположение (4.2) аналогично гипотезе Больцмана, которая была им
использована для вывода кинетического уравнения. Величина <Д>
пропорциональна среднему числу фоноиов с волновым вектором к. Подставляя
(4.2) в (4.1), находим
d<'k>
dt
X + 6ftj,k - fift3,k) 6ft1+k2,k X x (<Vk3> + <Vk3> - <v**>)- <4Л)
(4.2)
"I'kj 2 "a
X [2 [</fti> </ft2> + </*> </"8> - </ft> </fti>] x X 6 (<0fc + C0ftx -
COftJ 6fc+fcltfc2 - [</fc> </kx> +
+ (Ik> <Лг> - <ДХ) <^k2>] 6((0k - "fcj - WkJfikj+fcj.k)- (4.3)
140
Уравнение (4.3) является аналогом уравнения Больцмана. Его правая часть
приводит к возрастанию энтропии.
Существенной особенностью уравнения (4.3) являются те условия, которые
лежат в основе его получения. Мы показали, что таких условий два: первое
связано с выполнением критерия перемешивания, второе - с расцеплением
корреляторов типа (4.2). Эти условия, вообще говоря, взаимно независимы.
Комментарии к гл. 7
1. Вот как вспоминает о начале этих работ Станислав Улам [117]: "После
войны, во время одного из своих частных посещений Лос-Аламоса, Ферми
заинтересовался развитием и потенциальными возможностями электронных
