Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
неравенством (2.26) и будем оставлять в рекуррентном соотношении для фаз
(2.19) только наиболее быстро меняющиеся члены. Тогда
- ^А,(о) ~ 2 Khh, sin /2 2 Kb.h. X
fti 1 I 12
X sin p 2 Kh2h3 ... sin p 2 Khn_vhn sin 2<pftn>(0)y J. (2.37)
Далее следует подставить (2.37) в (2.35) и произвести оценку интеграла
методом стационарной фазы так, как это делалось в § 4.1 для случая одной
фазовой переменной. Мы онустим эти громоздкие выкладки и приведем сразу
результат:
~ exp (-t/xk + iakt), (2.38)
где время релаксации т* равно
Т* = QhN In Я = 1 dujdk | AkN In К ' (2,ЗЭ)
Формула (2.39) содержит ожидаемый результат: время релаксации обратно
пропорционально числу степеней свободы, по которым происходит
перемешивание. В данном случае такими степенями свободы являются фазы. Из
сравнения (2.34) и (2.39) следует соотношение для безразмерного времени
релаксации (времени перемешивания фаз) тА и Х-энтропии:
h ~ 1/тй. (2.40)
Соотношения (2.34), (2.39), (2.40) демонстрируют универсальность в
системах колебательного или волнового тппа. Ее можно сформулировать в
виде следующих свойств:
1) при малых нелинейностях и возмущениях перемешивание происходит по
фазам;
2) основной характеристикой перемешивания является параметр растяжения
фаз К;
3) существуют универсальные соотношения, связывающие параметр К с
энтропией h и временем перемешивания т (ком. 4).
В заключение параграфа заметим, что при условии К"1 из определения (2.35)
для коррелятора следует в первом приближении по К, что экспоненциальное
убывание 52*(<) отсутствует. Поэтому условие
Khhl~ 1 (2.41)
135
можно принять в качестве границы стохастичности. Выражение
(2.41) можно рассматривать как уравнение, которое определяет
некоторую границу спектра к0< разделяющую область стохастизи-рующихся
волн от области регулярных колебаний. Из (2.24), в частности, следует,
что в областях аномальной дисперсии, где
й* = (d<ah/dk)Ak
°°"
должны происходить срыв стохастичности и появление областей устойчивого
движения.
Наконец, полезно также отметить, что критерий стохастичности (2.26) может
быть получен из условия перекрытия резонансов, подобно тому, как это
делалось в § 7.1 для задачи Ферми - Паста - Улама.
§ 7.3. Кинетическое описание волнового поля
Метод уравнения Лиувилля. Потеря памяти о начальных условиях. Роль
перемешивания
В предыдущем параграфе была выполнена основная работа: было показано, что
при определенных условиях фазы волн стоха-стизируются. Это, как известно,
и нужно для того, чтобы можно было получить кинетическое описание.
Интересно, однако, проследить за тем, как возникает такое описание и как
механизм перемешивания "вторгается" в обычную рутину вывода кинетического
уравнения. В упрощенном варианте одной степени свободы (см. § 6.2) такая
задача уже решалась. Здесь мы будем следовать близкому к изложенному в §
6.2 методу [118].
Перепишем гамильтониан (2.1) в переменных действие - угол
(J*> Ф||)'
Я = Я0 + Vint, Я0 = 2 юА/А, (3.1)
ft
2 1 Ih Ih Ih У/2
- 1 2 3 ¦ [Vhhh X
X ехр [i + ^fc3)] (r)(^i + ^2 + *з) +
+ ЗТ^-^ехр [i(0fci + 0ft2 - (c)*3)] в(frj. + k2 - k3) + K. c.)+0(p2),
где нелинейная поправка к частоте он включена в члены (см. (2.12)).
Введем функцию плотности частиц в фазовом пространстве /(/, О, t),
удовлетворяющую уравнению Лиувилля:
U X д/ у ("VM df "VM df \
-Т1 0\)'
/(/,в,*)-/(Л, *i;(3'2)
136
Функция / является периодической функцией фаз, и поэтому ее можно
записать в виде разложения в ряд:
/ (/, О = 2 (/n) (Л t) ехр [i (га, О)] + к. с.),
(3 ЗУ
(га, fl) = 2 /п) = (Г(п))*. (") = "2, • •.
h
Удобно перейти к представлению взаимодействия, чтобы избавиться от
второго члена в левой части (3.2). В этом представлении разложение (3.3)
выглядит следующим образом:
/(/, <М) = 2 (/п) (/, t) ехр [i (га, О - <о*)] + к. с.). (3.4)
(П)
Далее мы будем пользоваться всюду представлением взаимодействия.
Подставляя (3.4) в (3.2), получаем
d-t2 = - iр (@n,"+i/(n+1)exp (- i [о>] t) +
+ Qn,n-i/n_1) exp (i [со] i)K (3.5)
где
Qn,n±i= з 2
V I 1 Л- 2_________
r *!•**.-"* 2/b ^ 2Ih 21
k *ль 2 АЭ
±-±-=f-2-
Hl я2 3
/q
[(c)] = (0Ai + (Ofca - (c)As, [Ar] = hx + A:2 - k3.
Кроме того, в выражении для Q отобраны только резонансные члены, для
которых выполняются распадные условия (2.4) и которые дают основной вклад
в df/dt.
При t = 0 разложение (3.4) имеет вид
/ (/, о, 0) = 2 (/п) (Л 0) ехр [ J (га, 0)] + к. с.). (3.7)
П
Обычно используемое для вывода кинетического уравнения приближение
хаотических фаз заключается в следующем:
/(/, Ф, 0) =/(/), (3.8)
т. е.
/<">(/, 0)-/(/)",.,. (3.9)
Так же, как и в § 6.2, мы сейчас покажем, что перемешивание создает такие
условия для вывода кинетического уравнения, при которых необходимость в
использовании гипотезы случайных начальных фаз (3.8) отпадает. Тем самым
кинетическое описание системы возникает как естествепное (внутреннее)
свойство системы, а не как следствие некоторых (возможно, что и вполне
правдоподобных) гипотез.
