Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
где обозначено
*ч=(1гМ?Г^ (2-20)
Если использовать выражение (2.12) для <о" и (2.16) для У0, то это дает
вместо (2.20)
<2-21>
Выражению (2.21) для К** можно придать более изящный вид. Для этого
обратимся к исходному гамильтониану (2.1). Из его структуры следует, что
безразмерным параметром энгармонизма (который здесь служит также и
возмущением) является величина
е* = ри". (2.22)
Кроме того, если отвлечься от детальной структуры матричных элементов Vh
h ь , Vh ь Л ь в считать их одного порядка, то
12 8 1 2 Э €
V ~ (Oft, Уа,- h,hv- At~ (Oft. (2.23)
Тогда выражение (2.21) с помощью (2.22), (2.23) преобразуется в
следующее:
а"? " IfdiHi \a
* ~ (r)а of = еА(07 Ьг Ак)' (2-24)
Дальнейший анализ отображений (2.19) во многом напоминает исследование
универсальной модели стохастичности в гл. 4 (см. формулу (4.1.9)). Начнем
с первого уравнения в системе (2.19). Подставим выражение для V0 из
(2.16) в (2.18). Это дает
ДД,(п) = ~2 sin
или, с учетом обозначения (2.22) и оценки (2.23),
1 ША
ДА,(п) = ~2 Л2е* ^A.(n) sin &*,<"")•
Таким образом,
М/I ~ 8(о/?2 < 1, (2.25)
132
т. е. пзмеиепие действия под влиянием одного толчка должно быть мало для
применимости теории возмущения. Заметим, что в оценке (2.25) параметр е
мал, а параметр ю/?2 велик.
Теперь перейдем к уравнению для фаз в системе (2.19). Прежде всего, из
выражения (2.24) для параметра К следует, что он может быть как малым,
так и большим независимо от условия
(2.25). В том случае, когда параметр К мал, изменение фаз при действии
толчка остается малым так же, как и изменение действия. Очевидно, что в
первом приближении этот случай можно считать устойчивым. Иначе обстоит
дело при условии
К
~есо2|(^Д*)2>1. (2.26)
Остановимся на нем подробнее. При К > 1 изменения фаз почти Есюду велнкп.
Действительно, имеем из (2.19)
91ПГ±21 = б**' + 2Kkk',M cos 20*/ (n). (2.27)
Отсюда видно, что имеет место растяжение фаз всюду, кроме малых областей
~1 /К в фазовом пространстве вблизи значеппй 6= я/4, Зя/4. Таким образом,
в фазовом пространстве волн при условии (2.26) развивается стохастическая
неустойчивость. Из области стохастичности выпадают островки устойчивости,
определяемые условием
Kw cos 2fyj/ ^ 1, (2.28)
мера которых тем меньше, чем больше К.
Хотя апалогия уравнения для фаз в (2.19) с универсальным преобразованием
в гл. 4 очевидна, тем не менее одно обстоятельство является принципиально
новым: растяжение фазы $h происходит во многих "направлениях" а именно в
тех, для которых Khh' > 1- Это приводит к важным физическим следствиям.
Остановимся сначала на энтропии Колмогорова для такого рода системы.
В § 1.6 энтропия Колмогорова была введена из простых качественных
соображений об эволюции в неустойчивом случае огрубленного фазового
объема ДГ (см. (1.6.9)):
ДГ = ДГ0 ехр (tit). (2.29)
В том случае, когда имеется N неустойчивых степеней свободы с
инкрементами неустойчивости fit, выражение (2.29) легко обобщается:
ДГ = ДГ0ехр(* 2**)- (2-3°)
Отсюда в соответствии с определением (1.6.11) находим динамическую
энтропию Колмогорова:
N
h = lim Jim -J- In ДГ = 2 (2.31)
A I 1 _kA ^_kАЛ ^ ^
133
Грубо говоря, при наличии N неустойчивых направлений ЛГ-энтро-пия
возрастает в ~N раз.
Выражение (2.31) легко использовать для рассматриваемого волнового поля.
Из формулы (2.27) при условии (2.26) следует, что
^Мги^к.ялл/>1г (2.32)
где множитель cos 2fV,(n) для простоты оценки опущен. Пусть теперь
¦D(ftft,(n)) = • • • d$hN,(n)
есть элемент объема на п-м шаге преобразования. Рассмотрим величину
d(Km) = D(K(0))
дЪ
к{,( п)
дЬ
(U 7 = 1...............
характеризующую изменение фазового объема за п шагов, которое выражается
через соответствующий якобиан. Имеем следующие тождественные
преобразования:
D (fyj.(n)) _
D(K(0))
дЬ
ft j,(n)
дЬь
дЬ,
fc^n-D
дЬ
ftj,(n-2)
дЬ,
'ftj.d)
(2.33)
Jkj,( n-l)
Воспользуемся выражением (2.32). Это дает
т.,*,)-(теч"Я(ъ. с",),
где К - некоторое характерное значение величины Khh> и N - число
взаимодействующих волп. Подставляя выражение для D(б*. (")) из (2.33) в
(2.31) вместо ДГ, получаем
h~ NlnK+2lnNs*NlnK (2.34)
при N > 1. Отметим, что главный член в (2.34) соответствует обычному
выражению для ЛГ-энтропии системы, в которой растяжение происходит
независимо в N координатных направлениях фазового пространства.
Поправочный член в (2.34) обусловлен в рассматриваемой модели тем, что
различные степени свободы не независимы.
Итак, выражение (2.34) показывает в явном виде, что инкремент
неустойчивости траекторий системы в фазовом пространстве возрастает в ~N
раз по сравнению со случаем одной степени свободы. На основании этого нам
следует ожидать, что время расцепления корреляций фаз волн должно
соответственно уменьшиться в N раз. Для того чтобы убедиться в этом,
рассмотрим следующий коррелятор:
(2.35)
#"(*) = ^exp Mb, (п) -
(0)1
134
где п " 2лQt (п " 1) и обозначено
2Я 2Л
^ = (2л)jV -i ' • * ^.(0) = (2Л)N J (2.36)
Один из способов его оценки заключается в следующем. Воспользуемся
