Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
"л. + <¦)*" = "а, + a*, kt + к2 = к3 + А4,
(2 5)
"*1 = + + "V = /с2 + А-3 + /с4. 1
Система (2.4), в которой {о* = (оШ, может быть рассмотрена как система
уравнений относительно к, kt, к2. Она не всегда имеет решение. Это
зависит от вида функции оЛк). В зависимости от того, существуют или нет
решения уравнений (2.4), спектр волн
128
о(к) называется соответственно распадным или нераспадным. Спектр волн
может быть нераспадным относительно трехволновых взаимодействий, но
распадным относительно четырехволновых взаимодействий; нераспадным в
одномерном случае, но распадным в двумерном случае, и т. д. На рис. 7.3
даны примеры нераспад-ных (а) и распадных (б) спектров в одномерном
трехволновом
Рис. 7.3. Примеры нераспадных (а) и распадных (б) спектров в одномерном
трехволновом случае.
Рис. 7.4 Пример графического решения системы (2.4) в одномерном случае.
случае. Графический способ решения вопроса о существовании решения
системы (2.4) приведен на рис. 7.4.
Предположим для простоты, что в гамильтониане (2.1) можно пренебречь
членами 4-го и более высоких порядков по и. Это приводит к следующим
уравнениям движения:
4" - Р 2 (^х ^2 - ^з)- (2-6)
Остановимся на понятии распадной неустойчивости [70, 108]. В нулевом
приближении
щ = и(ь0) cos ((oftf + <рМо)). (2.7)
Пусть теперь возбуждена лишь одна волна ик с kt = k конечной амплитуды, а
волны с к2 в (2.6) рассматриваются как бесконечно малые возмущения с
амплитудами и^, Из (2.6) имеем
Uhl + cos (<okt + фМо)),
Mfe3 + <0fe2Wfc2 = - cos((o ht + фМо)).
Положим
Ukx = Су (t) COS (0kt, Ub2 = C2 (t) COS (0ht.
Подставляем эти выражения в (2.8), оставляем только резонансные члены и
пренебрегаем членом с,. 2. Это дает
(2.8)
./о) ; _ W
2<оь к г' 2 -
*1
2<оЛ
Я|
= V •
9 г. м. Заславский
(2.9)
129
Из (2.9) легко следует, что Ci, 2 = с,, 2(0) ехр (±vAf), где инкремент
неустойчивости v* равен
v"- "У'У.и. <2Л0>
Описанная раснадная неустойчивость фиктивна в том смысле, что она дает
временную эволюцию амплитуд волнового триплета лишь на начальном
интервале времени. В дальнейшем, когда амплитуды нарастают, начинают
работать отброшенные нелинейные члены и уравнения (2.8) теряют
применимость. Мы рассмотрим этот процесс позднее.
Второй вспомогательный вопрос, на котором следует остановиться, связан с
определенным представлением правой части в уравнениях движения (2.6).
Здесь мы воспользуемся теми же рассуждениями, что п в § 6.3 при переходе
от выражения (6.3.15) к (6.3.17). Подставим нулевое приближение (2.7) в
(2.6) и в (2.1):
ин + (Оли,, = - Р 2 Укь1ки[оу^Ь(к - - к2)Х
ki'Mi
X cos (<aht + <Pfc1>(o)) cos (a)ht + cpfc2,<0)). (2.11)
Здесь величина <лк образована следующим образом. Из (2.1) учитывается
член ~[i2 для того, чтобы выделить из него нелинейную добавку к частоте
(c)*. Тогда
4 2 <2-,2>
Л
причем точное знание численного коэффициента во втором члене в (2.12) не
требуется. В правой части (2.11) зависимость от времени можно представить
в виде суммы слагаемых следующего типа:
exp[±i(a)Ai±G)fc2) *].
Если считать, что расстояние между гармониками Q* (2.2), матричные
элементы V** г*а и амплитуды медленно меняются с изменением к, то
приближенно можно записать
где V, и, Q - некоторые средние по пакету значения величин Уааха2, "(л°\
Q*. Кроме того, как и в (6.3.18), мы пользуемся
130
неравенством
Qi/((|)тпдт " (Omin) ^ 1,
(2.14)
т. е. ширина интервала возбужденных частот велика по сравнению с
характерным расстоянием между частотами. Если, в частности, (c)mm < o)maz,
то неравенство (2.14) просто означает, что
где N - число возбужденных мод.
Основное достижение, связанное с использованием аппроксимации (2.13)
вместо (2.11), заключается в том, что непрерывная задача (2.11) сведена к
задаче (2.13), в которой теперь явно можно ввести отображения с
интервалом Т. Здесь полезно напомнить, в чем заключается удобство
введения отображения. Во-первых, явно выделены моменты времени, в которых
происходит существенное изменение адиабатического инварианта осциллятора
(это моменты действия б-функций); во-вторых, коэффициент при б-функциях
явно учитывает изменение адиабатического инварианта (ком. 3).
Уравнение типа (2.12) подробно исследовано в гл. 4, и нам остается лишь
воспользоваться этими результатами. Положим
и* = (Д/ю*)17* exp (iftk) + к.с., ик = i(a>kIk)l/t exp (id*) + к.с.
Тогда уравнение (2.13) эквивалентно модельной задаче со следующим
гамильтонианом:
Гамильтониан (2.16) приводит, согласно (2.13), к следующему отображению
между двумя последовательными действиями 6-фупкциопных толчков:
N = ow/Q " 1,
(2.15)
(2.16)
+ ФМО)* У0 - 4"
(2.17)
Величина Днаходится из уравнения движения
путем интегрирования в окрестности 6-функцпп:
(2.18)
9*
1S1
(2.19)
Последний член в уравнении для фазы в (2.17) учитывает изменение фазы за
счет нелинейной добавки к частоте на интервале отображения
2л/й*. Подстановка (2.18) в (2.17) дает
*h,(n+1) = •'fc.(n) + l I sm "*,<")"
^A,(n+i) = (r)ъ,(п) + 2я ^ Kkk..(n) sin 2dj,ii(n), h *1
