Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивости. Почему отсутствует строгая теория? Время расцепления
корреляций
Рассмотренные модели стохастического ускорения можпо назвать дискретными.
Под этим понимается, что уравнения движения для некоторой канонической
пары переменных (/, Ф) могут быть записаны в подходящей дискретной шкале
времени t{, t2, ... в виде преобразования Лг+1 = /п+Д/щ Фп)?
Фп+I = ftn+l(In, <U.
Удобно в дальнейшем перейти к другим обозначениям, опустив индекс п п
представив эти уравнения в виде /-/ + *,(/, О),
# = <> + *(/,<", (1Л) где черта употребляется вместо индекса п 4-1,
g, и gt - некото-74
рые функции, определяемые возмущением. Между gi и gz существует
соотношение, налагаемое условием д (/, в)
д (/, Ь)
= 1 (1.2)
вследствие того, что система является гамильтоновой, а переменные (/, О)
- канонически сопряженными (теорема Лиувилля). Кроме того, фаза О
определяется по mod 2л, что всегда будет подразумеваться.
Уравнения (1.1) соответствуют системе с одной степенью свободы, на
которую действует внешняя сила (в таких случаях обычно говорят, что
система имеет 3/2 степени свободы). В общем случае можно было бы записать
уравнения отображений более ьысокого порядка, чем (1.1).
Модели, в которых уравнения движения сразу записывались в форме
преобразований типа (1.1), были специально подобраны. Обычная форма
уравнений движения - дифференциальная. Поэтому напрашивается вопрос:
можно ли от дифференциальной формы перейти к уравнениям отображении?
Оказывается, что не только можно (конечно, технически это пе всегда
просто сделать), но п необходимо! Поясним, почему это так.
Центральную роль в нашем утверждении играет выбор переменных. Будем
считать величину g, малым возмущением. На инвариантном торе, который в
случае одной степени свободы сводится к цилиндрической поверхности, 1 =
const. Поэтому изменение действия А 1 = 1 - 1 должно быть связано с
определенной степенью неадиабатпчности движения. В так называемом
адиабатическом случае величина А/ экспоненциально мала, а ее изменение
накапливается на очень малом интервале времени [201. В неадиабатических
случаях изменение действия накапливается в основпом в некоторых областях
времени At, в которых происходит нарушение условии адиабатичности. Все
дело в конечности интервала At. Это означает, что можно в качестве шага
преобразования выбрать время Т > At, равное расстоянию между областями
существенного изменения действия. Сшивка переменных (/, Ф) между двумя
соседними областями н приводит к уравнениям преобразования. Если мы
интересуемся потерей устойчивости, то это автоматически означает, что в
неустойчивом случае должны существовать области существенной неадиабатич-
ности. Изменение действия А/ при прохождении системой этих областей
определяет главную часть изменения действия на интервале преобразования
Т.
Таким образом, нарушение адиабатичности может быть описано системой типа
(1.1) и все многообразие различных физических ситуаций заложено в виде
функций gt, gz. Однако этот выбор пе столь произволен и определяется
общей структурой группы движения. Приведенные рассуждения приводят нас не
толькв к утверждению о существовании некоторого универсального вида
преобразования переменных (/, Ф), но и к возможности рас-
75
смотреть нарушение адиабатичности произвольного типа. В связи с этим,
простейшим случаем (без потериг какой-либо общности в структуре функций
gu gi) является случай постоянного шага преобразования Т и области
неадиабатичности Д?-*-(). Гамильтониан такой системы может быть
представлен в виде
H = H0(p,x) + eV(x)T 2 б(t-kT), (1.3)
fc=-во
где е < 1 - безразмерный малый параметр, характеризующий возмущение,
множитель Т введен для удобства, а невозмущенный гамильтониан Н0
описывает нелинейный осциллятор. Выражение (1.3) соответствует действию
на осциллятор периодических толчков. Между толчками движение осциллятора
является свободным, а при переходе через толчок может быть произведена
точная сшивка решений, которая и приведет к уравнениям преобразования
типа (1.1).
Перейдем в (1.3) к переменным действие - угол. Получим Н = Н0 (Г) + eV
(/, О) Т 2 b(t-kT) (1.4)
h=-oo
и уравнения движения
оо
(1-5)
Ф = со(/) + 8^Г 2 "(t-kT).
Пусть толчок происходит прп некотором t - ta. Определим отображение Т
следующим образом:
(7, Ъ) = TU, 0),
7^/(*0 + Г-0), Oetftto + r-O), (1.6)
7^/U, - 0), d"d(f"- 0).
Отображение Т является произведением отображений действия толчка и
свободного вращения на торе. Интегрируя (1.5) по малой области в
окрестности момента толчка t0, находим
*0+°
/(*0 + 0) -/(*0-0) = J idt = -ET^^lf
*о-°
*0+°
0(*о + О)-в(*о-О)= J hdt = zTdV{*^].
*о-°
Здесь мы учли, что потенциал V является функцией только ко-76
ординаты х, которая при действии толчка остается непрерывной (разрыв
испытывает^ только импульс р). Поэтому Vix) = F(x), или 7(7, 0) = 7(7,
0). При последующем вращении действие сохраняется, а фаза получает
приращение, пропорциональное частоте:
