Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
70
и (1.5) или (2.1). Поэтому аналогично исследованию этих систем запишем
параметр растяжения
где штрих означает производную по аргументу. Отсюда можно записать
критерий стохастичности движения
а за границу стохастичности принять К ~ 1. Используя обозначения (3.2),
перепишем (3.5) в виде неравенства для энергии электрона:
где введено граничное значение энергии Е".
В действительности положение дел не является столь простым, как мы его
представили. Трудность содержится в переходе от (3.4) к (3.5). Наличие
множителя coscp в (3.4) приводит к тому, что растяжение траекторий
отсутствует в некоторой малой области углов
лежащей в области (я/2 - Дф, я/2 + Дф). Будем здесь пренебрегать областью
(3.7), считая К достаточно большим (ком. 2). Кроме того, мы не будем
рассматривать "катящиеся" траектории (см. рис. 3.4), которые возникают
при углах ф > я/2. Так же, как и в модели Улама, будем считать, что
границы области углов (О, я/2 -Дф) аналогичны отражающим стенкам. Эти
предположения позволяют описать процесс диффузии электронов и
установления равновесного распределения.
Введем переменную импульса
р = mQR cos ф,
которая канонически сопряжена координате х (н, следовательно, %). В
результате быстрого перемешивания по переменной % устанавливается
распределение по ?, близкое к равномерному. Запишем
где Хо ~ 1. Пусть f(p, х) - функция распределения импульсов, в которой
роль переменной t играет координата х. Условие нормировки имеет вид
где ртгл = р (ф = 0), a pmin=p (ф = л/2 - Дф). Уравнение
к = тг 1х'1"1
2 R
(3.5)
(3.6)
Дф ~ 1 /К,
(3.7)
<х (?)> = о, <Х2Ф>^Х"
Ртах
J f(x,p)dp = 1,
Pmln
71
Фоккера - Планка для / имеет вид
- _L п и
Эх - 2 dp D Эр' ' '
где
С _ ($?>. (3.9)
В формуле (3.9) длина между столкновениями равна
Ах = 2Л sin (р = 2R j^l - | " (3.10)
а изменение импульса может быть найдепо следующим образом. Из определения
р и (3.3) следует
р"+1 = mQR cos <р"+1 = mQR cos [<р" + ex(|")J.
Разложение в ряд до членов ~е* дает
Ар = Рп+1 - Рп "
* - "х (c) [l - - т (r) е> <ЗЛ1>
где индекс п в правой части опущен. Подстановка (3.10) и (3.11) в (3.9)
дает (с точностью до ег)
<ЗЛ2)
Здесь, как и ранее, легко убедиться в существовании соотношения типа
(1.18) и, следовательно, в справедливости уравнения диффузии в форме
(3.8). Его стационарное (df/dx = 0) решение /о, удовлетворяющее условию
отсутствия потока частиц через границу
Pmin = mQR cos ^- Д(р j да тойЛАф,
имеет вид
/о (Р) = const = ^ (1 + Дф). (3.13)
Это соответствует распределению по углам ф:
/о (ф) = /о (Р) 15^ | = (1 + А<Р)sin Ф-
Из (3.8) и (3.12) следует, что характерная длина h, на которой
устанавливается равновесное распределение (3.13), равна
I ^ R W2Е V2 4/х
• <ЗЛ4)
Во избежание недоразумений заметим, что физическое описание рассмотренной
задачи не содержит стохастического уско-
72
рения Ферми. Включение в эту главу обусловлено ее внутренним и формальным
единством с задачами предыдущих разделов. Мы обратимся к скользящим
электронам еще раз при рассмотрении квантовых систем.
Комментарии к гл. 3
1. После появления работы [59] модель Улама привлекла к себе внимание
различных исследователей в связи с различными задачами и приложениями. В
[66] были исследованы различные законы движения осциллирующей стенки и
движение частицы в переходной области. Основное внимание в работе [66]
было сосредоточено на анализе инвариантных кривых в переходной области. В
[67] была подробно исследована стохастическая компонента движения в
переходной области.
Приложения описанного механизма ускорения Ферми оказались весьма
разнообразными. Кроме тех, которые рассмотрены в этой главе и далее,
укажем па стохастический механизм циклотронного нагрева частиц в плазме
[67 - 69] п на реализованный экспериментально механизм предварительного
нагрева плазмы в стеллараторе [71, 72].
2. Как и ранее, мы откладываем обсуждение вопросов о переходных
областях и областях типа (3.7) до гл. 4, где им будет уделено специальное
внимание.
ГЛАВА 4
СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ
Мы рассмотрели несколько характерных и сравнительно простых физических
моделей, в которых можно установить условия перехода от динамического к
стохастическому движению. Эти модели позволяют представить себе в очень
слабом приближении, с чем должно быть связано возникновение локальной
неустойчивости. Мы выделили особую роль сильного изменепия фазы колебаний
в процессе перемешивания траекторий.
Цели, которые преследуются в этой и следующей главах, иные. Именно в них
будет заложена информация, которая позволяет составить общее
представление о картине возникновення стохастичности в гамильтоновых
системах. Изучение этого вопроса начинается с анализа локальной
неустойчивости нелинейных колебаний. Это естественно для гамильтоновых
систем в случае финитного движения.
§ 4.1. Универсальное преобразование (отображение) нелинейных колебаний
Вывод универсального преобразования. Почему "универсальное
преобразование" является универсальным? Критерий перемешивания. Островки
