Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
где i>", Т имеют тот же смысл, что и в (1.5), a f"+4 есть время возврата
на плиту частицы после га-го столкновения с ней. Кроме того, так же, как
в (1.5), мы пренебрегли членами ~аЛ, где
I = vz/2g есть высота, на которую поднимается частица. В поле тяжести
tn+i = 2vn+l/g. (2.2)
После подстановки (1.3) и (2.2) в (2.1) и разложения в ряд по VJv находим
yn+1 = vn + 2У0 (1 2?п)" ^2 gj
1,+, = {ь. + " {ь. + | (1 ¦- Ц.
Выражения (2.3) определяют снова преобразование растяжения, и критерий
стохастичности можно записать в виде
K = 2V\/ga'fr 1. (2.4)
Отсюда видно, что условие появления стохастического ускорения может быть
всегда выполнено при достаточно малой амплитуде и достаточно большой
скорости колебаний плиты. Условие (2.4) не зависит от скорости частицы, и
поэтому ускорение частицы ничем не ограничено. Однако время возврата
частицы на плиту возрастает в соответствии с (2.2).
Аналогично (1.20), для симметризованного времени между столкновениями
положим
т* = (*" + *n+i) = К + vn+l) ~ + 4" ^yn)i
где Ai>" = 2У0(1 - 2\л). Из этих соотношений следует с точностью до
членов ~(У0/у)2:
v°g п /(^)а\ 2vog
\ т. / " З,2 * D - \ 1, / ~ 3. •
Нетрудно убедиться в выполнении соотношения (1.18). Таким образом, мы
приходим к уравнению типа (1.17):
I-7^s(.7s). <2-5>
которое легко решается для произвольных начальных условий. Достаточно,
однако, ограничиться следующим качественным
68
результатом. Из (2.5) имеем
ОО
о
Отсюда <у3> = у(r) + 3gVlt1 т. е. скорость растет со временем, грубо
говоря, как tl/3.
§ 3.3. Перемешивание скользящих электронов
Поверхностные электроны в магнитном поле. Стохастическое ускорение и
рассеивающие биллиарды. Распределение импульсов поверхностных электронов
Термин "скользящие электроны" возник в связи с анализом движения
электронов металла во внешнем магнитном поле. Пусть магнитное поле Ж
направлено вдоль поверхности металла и электрон движется в плоскости,
перпендикулярной магнитному полю. Тогда те электроны, которые находятся
вдали от поверхности, совершают ларморовское вращение. Электроны,
расположенные вблизи поверхности, совершают дрейф ("скользят") вдоль
поверхности. Характер дрейфа зависит от ее свойств, т. е. от вида
столкновения электрона с поверхностью. На рис. 3.3 взаимодействие
скользящих электронов с плоской поверхностью такое же, как и при
абсолютно упругом ударе.
В реальной ситуации поверхность не может быть плоской и должна иметь
периодическую структуру с периодом решетки. В связи с этим возникает
задача об электронах, скользящих
Рис. 3.3. "Скользящие" электроны. Рис. 3.4. Дрейф электронов вдоль
неоднородной поверхности: а) "скользящие"; б) "катящиеся" электроны.
вдоль гофрированной поверхности (рис. 3.4) [73]. Каков характер их
движения и каковы их траектории?
На первый взгляд может показаться, что речь идет о весьма специальной
задаче. Однако это не так. Чтобы убедиться в этом, определим более
конкретно характер поверхности. Будем считать, что она имеет вид арок
высотой Ь и шириной а и "упаковка"
х
69
арок плотная (см. рис. 3.4). Тогда электроны скачут по поверхности
отрицательной кривизны. Нетрудно увидеть здесь аналогию с биллиардом типа
"гусеница" (см. рис. 2.7), в котором возврат частицы на неоднородную
поверхность происходит благодаря
магнитному полю. Отсюда следует, что при определенных условиях движение
электронов будет пере-; / мешивающпмся.
У- Полезно провести еще одно
г ? ' > сравненпе. Пусть дрейф электро-
~п нов происходит в направлении оси
Рис. 3.5. Выбор переменных для х. Обратимся к задаче о гра-
"скольэящих" электронов. витационной машине. Нетрудно
убедиться в том, что в плоскости (у - высота частицы, t) траектории
частицы аналогичны траекториям скользящих электронов. Различие снова
заключено лишь в характере возврата траектории (в гравитационной машине
это дуги параболы, в то время как у скользящих электронов это дуги
окружности).
Итак, нам удалось не только связать задачу об ускорении Ферми с задачей о
скользящих электронах, по н показать, что они являются некоторыми
вариантами задачи о движении в пространстве отрицательной кривизиы. В
связи с этим следует утверждение о существовании разделения фазового
пространства системы на области регулярного н стохастического движения.
Определим такую границу для скользящих электронов [73].
Пусть хп - координата, <р" - угол с осью х электрона в момент га-го
столкновения (рис. 3.5). Будем предполагать для упрощения
е = Ь/а " 1.
Учитывая малость е, можно приближенно записать ?"+, =я" + 2Д sincpn+i,
фп+1 = фп + ех(Ьп/а}), где R - циклотронный радиус электрона:
1/2 рЖ
а = (3.2)
(3.1)
*-т
тс
Е - энергия электрона, Q - цнклотроиная частота. Функция Х({х"/а))
определена формой границы. Она выбирается таким образом, чтобы maxyw = 1.
Вводя обозначение | = {х/а), перепишем (3.1) в виде
Фп+1 = фп + ex (Sn)i
t _ ft 2R ¦ 1 fen+1 - jfen + ~ sin фп+lj.
Нетрудно видеть, что структура преобразования (3.3) та же, что
