Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.7) имеет следующие характерные времепные масштабы (аналогично
введенным в § 2.1):
т, = 21/ v (1.12)
- время между двумя столкновениями частицы с движущейся стенкой (с
точностью до членов ~а/1),
Тс = Ш = in (2 tv2/(tm)2) (1ЛЗ)
- время расцепления корреляций фаз % н, наконец, rd - время
установления равновесного распределения /0(у), которое еще подлежит
определению. В области сильно развитой стохастичности К> 1 и согласно
(1.13) т,.<т,. Поэтому сначала устанавливается равновесное распределение
по фазам р(1). Учитывая, что изменение скорости на одном столкновении
удовлетворяет, согласно (1.6), неравенству
Av = 2F0(1 - 2|) < v, (1.14)
можно для /(у, t) записать уравнение диффузии Фоккера - Планка -
Колмогорова:
Ih-&W> + т ?<*/>• (1-15)
где коэффициенты А и D определяются соотношениями
A- 44 D- /(116)
и скобки <...) означают здесь усреднение по фазам |. Уравнение
(1.15) упрощается, если выполняется при столкновениях принцип
детального равновесия, или принцип микроскопической обратимости движения.
Здесь это так, и поэтому уравнение диффузии приводится к виду
- (117)
dt 2 ди\"де)' '}
который является следствием соотношепия между коэффициентами
/Др\ _ 1 д /(Д1>)2\ (л
/¦ (1Л8) Вычислим коэффициенты А и D и продемонстрируем, как выполняется
соотношение (1.18). Заметим, что в силу (1.14) в течение большого числа
столкновений скорость изменяется
5 г. М. Заславский 65
незначительно, н, следовательно, параметр растяжения (1.8) при условии К
> 1 можно считать приблизительно постоянным. Тогда второе в (1.7)
уравнение для ? аналогично преобразованию Тх - = {Кх) (сдвиг на константу
в (1.7) несуществен). Как известно, из (2.1.35) прнЛ>1
p(D * 1.
Отсюда
1
<1 - 2|> = J d\ (1 - 2?) = О,
° , (1.19)
<(1-2?)2> = jd|(l-2|)2 = -i* о
Нам понадобятся для определения величии (1.16) вычисления с точностью до
членов ~(У0/^)2. Из преобразований (1.5) видно, что более точное (по
порядку Av/v ~ V"/v), чем (1.12), выражение для т, имеет вид
<>=йЗз? <'-20)
Формула (1.20) получена следующим образом. Рассмотрим интервал времени
между двумя последовательными столкновениями частицы с верхней стенкой.
Время пролета от верхней стенки до столкновения с нижней стенкой равно
l/v. Время пролета от столкновения с нижней стенкой до верхней стенки
равно l/(v + Av), так как скорость изменилась на величину Av. Складывая
эти два выражения, приходим к (1.20).
Подстановка (1.14) и (1.20) в (1.16) дает с учетом (1.19) и с точностью
до членов ~(V0/i>)2:
А = тт-' В = (1,21>
Непосредствепно убеждаемся в справедливости (1.18). Таким образом,
уравнение диффузии имеет вид (1.17), или, согласно (1.21),
d±='AL{vdJ) (i 29)
dt 31 dv\V д"г ' >
с граничным условием (1.11), т. е.
"0. (1.23)
df
vz~
dv
Стационарное распределение /0 получается из уравнения (1.22), если
положить в пем df/dt = 0. С учетом (1.23) и условия нормировки (1.10) это
дает
ft, - const = l/vo. (1.24)
Решение уравнения (1.22) приведено в работе [59]. Однако вре-66
ыя релаксации произвольного начального распределения к /0 можно
определить непосредственно из (1.22) из соображений размерностей:
_1_ К ъ V
или, используя для Vo выражение (1.9), \1/2
Td ~
<*•""
Из сравнения (1.25) с (1.12) следует к 1/2
>1.
Таким образом, соотношение между основными временами задачи то же, что и
в (2.1.29), (2.1.30).
Проведенное приближенное решение задачи описывает при условии (1.8)
ускорение Ферми до скоростей ~v<>. Однако, как уже отмечалось, численный
анализ показывает, что с небольшой вероятностью (6/ < /0) частицы
проникают в переходную область и ускоряются до более высоких скоростей
[59, 66, 67].
§ 3.2. Гравитационная машина
Как использовать гравитационное поле для неограниченного ускорения тела
Размер исследуемых объектов может повлиять на масштабность возникающих
задач и идей. Так появилась в астрофизике идея гравитационной машины, в
которой переменное гравитаци-
онное поле, например, двойной звезды используется для ускорения
летательного аппарата или просто тела. Если не обращать внимания на
детали, связанные с временами такого ускорепия, возникает интересная
задача того же типа, что и модель Улама.
Действительно, модель гравитационной машины можно представить себе
следующим образом [14]. Частица (шарик) массы т подпрыгивает вертикально
на осциллирующей плите (рис. 3.2) и падает обратно на плиту под действием
силы тяжести. Возникает вопрос: может ли за большое число прыжков
(столкновений с плитой) частица
mg
Рис. 3.2. "Гравитационная машина", ускоряющая частицу.
набрать в среднем достаточно большую энергию и подняться благодаря этому
на большую высоту? Ясно, что эта модель аналогична модели Улама и
отличается от нее способом возвращения частицы обратно на осциллирующую
плиту.
Будем считать, что плита колеблется по тому же закону, что и в предыдущем
параграфе. Тогда, аналогично уравнениям (1.5),
5* 67
можно написать
(2.1)
vn+l = уп + 2V"(1 - 21"),
|п+1 = {In + tn+l/T),
