Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 25

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 102 >> Следующая

направлении, примерно равно числу тел, движущихся в обратном направлении.
Это означает, что столкновений будет больше с теми телами, скорость
которых направлена навстречу частице, так как частица встречает их чаще.
Отсюда следует, что частица будет чаще приобретать энергию, чем отдавать
ее, п возникнет эффективное ускорение частиц, называемое ускорением
Ферми.
В действительности, однако, закон движения макроскопически больших
облаков может носить чисто динамический (регулярный) характер, п
возникает вопрос о возможности появления ускорений Ферми без априорного
введения хаотических скоростей облаков. Ясно, что мы здесь столкнулись с
задачей об определении критерия стохастичности, которой и будет посвящена
эта глава.
§ 3.1. Механизм стохастического ускорения
Модель Улама. Уравнение отображений. Критерий ускорения. Кинетика
ускорения
В связп с оппсапной выше проблемой о природе появления ускорения Ферми
Улам [64] предложил рассмотреть простую модель частицы (шарика),
движущейся между двумя стенками, причем одна из них осциллирует по
некоторому периодическому
62
закону. Численный анализ модели, проведенный Уламом, не привел к
положительным результатам, п ускорение не было обнаружено. Однако его
работа послужила толчком к более детальному анализу, и решение задачи
было получено --------------г---
в работе [591. j
Предполагается, что одпа из двух горизонталь- г| I
ных стенок колеблется с амплитудой а (рпс. 3.1) | j
и минимальпое расстояние между стенками рав- 7
но I. Сила тяжести отсутствует, а столкновение между частицей и стенками
абсолютно упругое.
Введем "фазу" при п-м столкновении: ------
In = UJT), 0 < 1 < 1, (1.1) j*
где t" - момент времени п-го столкновения, Т - рис } Части
период колебаний нижней стенкп. Пусть x(t) - ца между дву-
координата осциллирующей стенки, отсчитывав- Мя стенкамн.
мая снизу вверх, в момент t. Зададим для x(t) Нижняя осцил-
параболнческнй закои пирует с ампли-
г тудои а.
x(t) = VJUi-l), (1.2)
где Уо - параметр, имеющий размерность скорости. Поскольку х (0) - х (Т)
= 0, х (Ч2Т) = а,
то из (1.2) следует соотношение
Т = 4a/Vo (1.3)
н закоп изменения скорости нижней стенки
V(f) = V"(l-2|). (1.4)
Итак, формулы (1.1)-(1.4) полностью определяют движение нижней стенки.
Пусть теперь v(t) - скорость частицы, а vn - ее скорость перед п-м
столкновением со стенкой в момент Тогда в предположении a/l < 1 можно
записать следующие уравнения в конечных разностях:
у"+1 = + 2 V(tn) = + 2У0(1 - 2|"),
!г"+^}=1Е"+^,)- (1'5)
В (1.5) первое уравнение является точным, а второе наппсано с точностью
до членов ~a/Z. Нетрудно убедиться в том, что
d (rti+i' 6" + i) . д (vn' 6")
Поэтому преобразование (1.5) сохраняет фазовый объем, а переменные (v, |)
могут быть выбраны в качестве канонически сопряженной пары. В целях
упрощения положим далее
Y,<v (1.6)
63
н запишем (1.5) в виде 1>"+1 = уп + 2V0(1 - 21"),
(1.7)
in+i" [in + --------о (^ ^5i
[ Mvn at>-
В силу неравенства (1.6) переменная v меняется мало при столкновениях, но
фаза 1 может изменяться очень сильно. Нетрудно видеть, что мы пришли к
уже рассмотренному в гл. 2 преобразованию растяжения. Запишем
2IV*
"5"
+1
1 +
Отсюда следует, что появление стохастичности определяется условием
2IV*
К = -±^1 (1.8)
"п
и, наоборот, условие К < 1 является условием устойчивости пли
квазипериодического движения. Из (1.8) следует, что для появления
стохастичности при неравенстве (1.6) отношение I/а должно быть достаточно
большим, т. е. амплитуда осциллирующей стенки должна быть достаточно
малой. Из критерия (1.8) вытекает ограничение на скорость ускоряемой
частицы
v^{2lVl/a)Vi = v0. (1.9)
Здесь следует сделать ряд существенных оговорок. Их появление связано с
определенной нестрогостью нашего анализа. Прежде всего заметим, что
граница стохастичности К ~ 1, пли v ~ Vo, является весьма условной. В
действительности существует некоторая переходная область (и весьма
немалая - она может быть порядка v"), в которой движение носит весьма
сложный характер. Нам еще предстоит в дальнейшем остановиться на
переходной области более детально и в более общей ситуации. Поэтому здесь
мы ограничимся лишь качественными соображениями, которые хорошо
подтверждаются данными численного анализа (ком. 1). Основная информация
заключается в том, что хотя частица и проникает в переходную область v >
v0, тем не менее вероятность ее пребывания там мала. Если пренебречь этой
областью, то граница vB должна действовать как отражающая "стенка" для
потока частиц в область v > v0.
Введем в области стохастичности функцию распределения частиц f(v, t). Ее
нормировка имеет вид
°0
J /(М)*~1. (110)
о
а граничным условием, выражающим отсутствие потока частиц
64
J(v) через границу v = v0, является
/(".>" 0. (1.11)
Для полпоты картины в области стохастичности нам осталось найти функцию
распределения /(у, t). Покажем, как это делается непосредственно из
уравнений преобразования (1.7). Система
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed