Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя дальнейшее обобщение ре- лиаРДа Синая, шения задачи на случай
произвольного числа дпсков представляется весьма трудным делом, тем не
менее результаты Снная показали, что появился новый н интересный с
физической точки зрения объект исследования: различные типы рассеивающих
биллиардов. На рис. 2.6, 2.7 приведены примеры биллиардов типа "звезда" н
типа "гусеница".
59
Снова забегая несколько вперед, заметим, что задачи о движении частицы в
биллиардах типа изображенных на рис. 2.6, 2.7 могут возникнуть при
анализе волнового поля в резонаторах и волповодах соответствующего типа.
Однако наиболее существенной стороной дела является следующее
обстоятельство. Как отмечалось ранее, различные впды
К-систем изоморфны друг другу (§ 1.6), если они имеют одинаковую ^-
энтропию. С некоторыми оговорками, о которых будет сказано позднее, это
свойство можно распространить и на реальные физические системы, в которых
возникает стохастнчность. Свойство изоморфности, из самых общих
соображений, должно тем лучше выполняться, чем больше параметр растяжения
траекторий К, т. е. чем больше инкремент локальной неустойчивости. В этом
случае законы поведения траекторий систем с одинаковыми К приблизительно
одинаковы. К таким системам относятся и рассеивающие биллиарды. Последнее
означает, что исследование ряда физических задач может оказаться
эквивалентным исследованию свойств биллиардов, и мы увидим в дальнейшем,
как можно эффективно воспользоваться описанным изоморфизмом *).
Комментарии к гл. 2
1. Идеи излагаемого ниже критерия развивались в применении к решению
различных задач в ряде работ Аносова и Синая [60, 48 - 50]. Интерес
физиков к этому критерию обусловлен следующим обстоятельством. Дело в
том, что в реальных физических задачах, как будет видно далее, критерий
Синая, как правило, не выполняется строго. Однако существует расширение
этого критерия, не доказанное строго, но, скорее всего, верное (это тоже
будет видно далее). Необычайная простота критерия и определенная степень
"легкости", с которой физики привыкли обращаться с подобного рода
инструментами познания, делают критерий Синая в адаптированной форме
весьма конструктивным. Упрощенное изложение основной идеи доказательства
критерия можно найти в [14].
2. Следует упомянуть еще об одном очень важном классе "формальных"
моделей. Это так называемые У-системы, понятие которых было введено
Аносовым [49] (см. также [50, 53]). Неформальное определение У-систем
можно получить, представив себе, что в любой окрестности любой точки в
*) Подробнее о биллиардах, приводящих к стохастичности, см. в Дополнении
1.
Рпс. 2.7. Бпллпард типа "гусеница".
Рис. 2.6. Бпллпард типа "звезда".
60
фазовом пространстве локальное поведение траекторий должно быть такиы же,
как в окрестности гиперболической особой точки. Заметим, что примерами У-
систем являются преобразования (2.2) и (2.3) при условии, что матрица А
имеет всюду два разных и действительных собственных значения, т. е. при
условиях стохастической неустойчивости. С физической точки зрения
очевидно, что любая локальная (в фазовом пространстве) неустойчивость
гамильтоновой системы может возникнуть только в окрестности
гиперболической точки. Поэтому У-системы, которые всюду ведут себя так
же, как н в окрестности точки гиперболического типа, являются максимально
неустойчивыми системами. Перечислим некоторые важнейшие свойства У-
систем: а) У-системы - эргодические, и их движение обладает свойством
перемешивания; б) возмущение У-систем приводит снова к У-системам, т. е.
свойство системы быть У-системой является грубым; в) понятие У-систем
может быть расширено (хотя и с определенными неудобствами) на случай
негамильтоновых систем [53].
3. Первый строгий результат о перемешивании геодезических в
пространстве отрицательной кривизны принадлежит Хопфу [40, 41]. Именно
этот результат Хопфа явился отправной точкой для анализа Крыловым модели
газа твердых шариков. В дальнейшем исследование геодезических в прост-
5анстве отрицательной кривизны было развито в работах Аносова и Синая 60,
49, 50].
ГЛАВА 3
СТОХАСТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ ЧАСТИЦ
(УСКОРЕНИЕ ФЕРМИ)
Красивым п сравнительно простым проявлением локальной неустойчивости
является стохастический механизм ускорения частиц. Он был предложен Ферми
[631 для объяснения происхождения быстрых частиц в космических лучах.
Идея Ферми заключалась в том, что при столкновении заряженных частиц с
беспорядочно движущимися магнитными облаками в межзвездном пространстве
частица должна в среднем ускоряться. Рассматривая облако как гигантскую
частицу большой массы, причину ускорения можно понять следующим образом.
При единичных актах столкновения частица приобретает или отдает энергию в
зависимости от того, движется ли облако навстречу частице или от нее.
Если скорости тел, с которыми сталкивается частица, распределены
хаотически, то можно сказать, что число тел, движущихся в одном п том же
