Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Заславский Г.М. -> "Стохастичность динамических систем " -> 23

Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.

Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем — М.: Наука, 1984. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): stohanichnostdinamicheskihsistem1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 102 >> Следующая

Пусть угол падения луча на сферу равен а, п предположим, что исходное
положение материальной точки имеет произвольные координаты (х, у).
Запишем связь между координатами материальной точки н координатами точки
паденпя ее (Д, Ф): x + pcosq^flcosG, у + р sin<p,= р"с- 23- Рассеяние
луча на = tf sind, (3.1) 6'
где угол <р, определен на рпс. 2.3. Учитывая, что угол падения а равен
углу отражения, имеем
2а + <р2 + я - <pi = 2л, а + <р2 = О,
откуда, исключая а, получаем
<pt + <р2 + я = 20.
Нашей дальнейшей целью будет найти величину дсрг/д(р,, определяющую
характер растяжения траекторий. Поскольку <р(| <р2 - соответственно углы
(фазы) луча до н после рассеяния, то при выполнении условия растяжения
|дф2/д<р,| > 1 (3.2)
развивается стохастическая неустойчивость, т. е. неустойчивость
относительно малых возмущений начальных условий. В этом случае поведение
фаз луча является случайным во времени, и к исходной спстеме можно
применить статистические методы описания. Из соотношения, связывающего
ф1т ф2 и 0, следует
dJh _ О
Из (3.1) получаем, считая х, у, ф, независимыми переменными:
ар
р sm Ф, - дг- cos <г, дЪ _ 1 1
дуг flsind
Определим др/дф(. Возводим в квадрат каждое из уравнений (3.1) и
складываем их:
х2 + уг + 2р(х cos <pi + у sin ф,) + р2 = R*.
Дифференцируя полученное выражение по q>i и исключая х, у
ЧУ
с помощью (3.1), находим
^ - Р tg (0 - Ф1).
Используя выражения для др/дф|, 50/дер!, иаходпм окончательно
?^2 = _Р______2________1
дфц Л cos (О - cfj)
Поскольку cos (О - tpi) < 1, то условие растяжения (3.2) имеет
вид
Я = р/Я>1, (3.3)
прпчем очевидно, что в качестве р следует взять длпну свободного пробега.
Выражения (3.2), (3.3) аналогичны формуле (1.24). Это означает, что можно
провести аналогию между переменной х в примере преобразования растяжения
(1.15) н фазовой переменной ф. Тогда для корреляционной функции можно
записать
~ К~" = ехр (-га In К)
пли, переходя от дискретного времени (га) к непрерывному U = га/"),
& (1) ~ ехр^- у- (3.4)
Отсюда следует, что характерное время расцепления корреляций равно
т = *"/1п?. (3.5)
После проведения выкладок полезно вернуться назад и вылепить, что же
явилось физической причиной появления локальной
неустойчивости. Рассмотрим две траектории луча, выходящие пз близко
расположенных точек приблизительно в одном направлении (рис. 2.4).
Отражаясь от поверхности сферы, они расходятся. По мере роста числа
столкновений это расхождение нарастает до тех пор, пока лучи не
разбегаются, "забыв" о том, что они являлись близкими. Основную роль в
появлении перемешивания лучей играет то обстоятельство, что поверхности
сфер, от которых лучи отражаются, являются рассеивающими поверхностями,
т. е. поверхностями отрицательной кривизны. Это приводит нас к мысли о
выделенной роли, которую могут играть в физике системы, движущиеся в
областях отрицательной кривизны, и мы рассмотрим этот вопрос подробнее в
следующем параграфе (ком. 3).
Рис. 2.4. Локальная неустойчивость лучей при рассеянна на сферах.
58
Нам, однако, необходимо Ьредварительно остановиться на некоторых
недостатках проведенного анализа столкновения сфер. Дело в том, что мы,
по существу, исключили полную динамику системы, оставив лишь рассеяние
луча (сферы) на неподвижных сферах. Действительно, перемещение последних
никуда не входит. Это привело к несколько искусственному введению в
задачу понятии длины свободного пробега и времени столкновения. И хотя с
физической точки зрения рассуждения, проведенные Крыловым, кажутся вполне
удовлетворительными, тем не менее возникает вопрос: можно ли в системе
газа сфер получить более строгий результат для условий перемешивания,
который бы учитывал динамическую эволюцию системы? К сожалению, этот
вопрос не является, как может показаться на первый взгляд, обычной (для
математиков) и необычной (для физиков) погоней за строгостью. На
нескольких примерах далее мы увидим, что введение динамического элемента
в систему из нескольких сталкивающихся шариков может привести к
качественно новым физическим явлениям.
§ 2А. Рассеивающие биллирды (биллиарды Синая)
Исследования Снная газа твердых дпсков. Задача о рассеивающих биллиардах.
Об изоморфизме рассеивающих биллиардов
Исследование задачи Крылова о перемешивании в газе упругих шариков было
продолжено в работах Снная [61, 62], рассматривавшего также плоскую
задачу, т. е. упруго сталкивающиеся диски. Простейший случай представлял
собой два диска в плоском ящике, причем один из дисков жестко закреплен.
Заменив закрепленный диск на диск удвоенного радиуса, а движущийся диск -
материальной точкой (рис. 2.5), мы приходим к задаче
о движении точки в рассеивающем биллиарде. В этом случае удается
строго показать наличие перемешивания. Далее, Синай распространил
результат о перемешивании на тот случай, когда оба диска могут свободно
двигаться. Здесь, однако, уже потребовались значительные усилия для
решения задачи. Рис- 2.5. Простейший вид бил-
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 102 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed