Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
распределение по х. Однако для более полного представления о виде р(х)
приведем частный пример, открытый Реньи Г58]. Пусть
теперь pi (я) и р2(я) - плотности вероятности,
{*><*<1, (1.33)
(1.34)
р(*) = х(р(т) + р(т)+ ••• + ?(¦
х + К - 1
к
)) т=о).
р = 1 + оа/ю.
(1.35)
* = V2(/5 + l).
В этом случае 1 < К < 2 и удовлетворяется соотношение
кт = 1.
4*
(1.36)
51
Система (1.33) переходит в следующую:
Pi (*) = х (pi (т)+ р* (тг*))*
p2W = xPi(x)'
Исключение р2 дает
h И-тй(т)+ ?•>№>
Легко убедиться с помощью условия (1.36), что решение полученных
уравнений имеет вид
Pl = C (0<*<(/5-1)/2),
р, = CIR (( /5 -1)/2 < I < 1),
где С определяется условием нормировки. Рассмотренный при* мер
показывает, что рСс) может иметь достаточно сложный (неаналитический)
характер. Однако в случае К > 1 все подобные особенности согласно (1.35)
находятся в членах ~1 /К, и ими можно пренебречь.
Рассмотренные два примера обладают одним важным свойством, на котором
желательно остановиться подробнее. Его можно сформулировать следующим
образом: движение однозначно "вперед" во времени и неоднозначно "назад".
Это свойство появляется вследствие оператора "дробная часть". Далее мы
увидпм, как это свойство будет проявляться в многочисленных физических
задачах. Таким образом, можно сказать, что в реальных задачах имеется
определенный тип необратимости, или, лучше сказать, неоднозначности. Его
не следует смешивать с обычно употребляемым понятием необратимости. Если
изменить направление времени, то мы будем двигаться по той же траектории,
но в обратном направлении, т. е. движение обратимо. Однако в случае
рассмотренных преобразований мы не можем однозначно сказать, откуда
система начала свой путь для того, чтобы в фиксированный момент времени
оказаться в заданной точке. Мы не исключаем того, что указанное свойство
неоднозначности может оказаться необходимым для появления стохастичности,
тем более что неоднозначность возникает лишь при К > 1. К сожалению,
строгих результатов по этому вопросу пока не существует.
§ 2.2. Критерий стохастичности
Критерий Синая. Пример двумерного растяжения. "Преобразование пилы". У-
системы
В предыдущем разделе для определения условия возникновения перемешивания
(стохастичности) мы воспользовались оценкой корреляционной функции. Этот
путь, безусловно, всегда дол-
92
жен приводить к цели, если вычисления осуществимы. Однако при этом, кроме
условия стохастичности, используется дополнительная информация, связанная
со структурой коррелятора. Поэтому возникает вопрос о прямом нахождении
критерия стоха-стпчности по заданным уравнениям движения. Такой критерий
был предложен Синаем [48] (ком. 1).
Приведем качественное описание критерия Синая. Пусть х =* = (Ж|, ..., xN)
обозначает все динамические переменные и уравнения движения заданы в
форме отображения
Тх = /Ы, т. е.
^ ..." J'jv) • • м •I'ff)* .. •" fAx" .. ., Xn ) ).
Для каждой точки х рассмотрим матрицу
Взяв произвольный вектор а - (а,, ..ая), рассмотрим отноше* ние
где |лг|* означает квадрат длины вектора х. Если а(а) > 1, то вектор а
называется растягивающимся; если а(а) <1, то - сжимающимся. Рассмотрим
теперь в фазовом пространстве некоторую точку в качестве начала координат
и выведем из нее всевозможные векторы состояний. Те векторы, которые
растягиваются, находятся внутри некоторого конуса L+, а те, которые
сжимаются, - внутри конуса L~.
Критерий стохастичности Синая выглядит следующим образом: если
выполняются условия
A(x)L+(x) <= L+(?x),
А-Чх)Ь-(х) с L-(T-lx),
то движение системы является перемешивающимся. Геометрическая
интерпретация условий (2.1) очень проста. Остановимся на первом из
условий (2.1). L+(x) - конус растягивающихся векторов. L+(fx) - конус
растягивающихся образов векторов, т. е. векторов, взятых в более поздний
момент времени. Действие А{х) на L+(x) эквивалентно инфинитезимальному
преобразованию конуса L* (в том числе и границ конуса), наведенному
оператором Т. Таким образом, первое из условий (2.1) означает, что
отображение Т переводит весь конус растягивающихся векторов L+ внутрь
конуса, в котором лежат растягивающиеся векторы в более поздний момент
времени. Второе условие в (2.1) выглядит аналогичным образом для
сжимающихся векторов и означает, по
53
существу, что сжимающиеся векторы не попадают в копус растягивающихся
векторов.
Рассмотрим два примера применения критерия Синая.
Пусть xt, хг - циклические переменные, 0 < хи х2 < 1, а отоб-
.**4
ражение Т имеет вид
24а: 1, х2) = ({/ra^i + пхг), {pxi + qx2)), (2.2)
где m, п, р, q> 0 и mq - np - \. Это отображение является двумерным
обобщением отображения (1.15). 6 этом случае матрица А имеет вид
и не зависит от х. Предположим, что числа m, п, р, q таковы, что
собственные значения Х(, Х2 матрицы А действительны и различны. В этом
случае X, ^ X > 1, Х2 = 1/Х < 1. Удобно перейти к представлению, в
котором А дпагопальна:
н; *4
Положим в этом представлении
CL - (flj,
