Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
распадной неустойчивости на нелинейной стадии; в нелинейной оптике такой
процесс принято называть параметрическим усилением волны разностной
частоты. Плотность потока квантов Ns(%) описывается уравнением (40.1), в
котором следует выбрать знак "минус".
Величины rrii и mz определяются соотношениями Мэнли - Роу:
m^NM + NM, mz = N3(0). (40.14)
Решение для расстройки фазового синхронизма, равной нулю (х = 0) (см.
(37.11), (40.14)), имеет вид, (iV3e = iV,(0) +
N3b = JV3(0), N3a = 0, f = Nt(0)ANM + W3(0))
NAV = JV3(0) sn2[(A^1(0) + N3(0))l/4 ~ V;
(40.15)
136
tf2(g) = Ws(0) - NM sn2 [(^(0) + NM)l/4 - go); NA%) = Ni(0) + ЛГ,(0) --
N3(0) snHWO) + iV3(0))1/2a - go); ?].
Здесь величина |0(Л^(0) + jV3(0)</2 равна в соответствии с граничными
условиями четверти периода эллиптического синуса [19]
?"Ш0)+Лгз(0))1/2 = Я(т), (40.16)
где Kiy) - полный эллиптический интеграл первого рода. Выражение (40.16)
определяет ту длину, на которой происходит полное преобразование энергии
в волны с частотами coj и со2, т. е. полный распад волны с максимальной
частотой. Вспоминая, что ? = = Уж/(у1г;2г;з)1/2 и Nj = Vj\cj\2 (см. §
37), из (40.16) получаем следующее выражение для длины х0, на которой
происходит полное преобразование энергии:
х0 = X(,y)(i;1i;2i;3)1/VF(i;1lc1(0)l2 + у3|с3(0) |2)1/2,
(40.17)
T2 = iV3(0)/(iV1(0) + iV3(0)).
В случае, когда Ni(0)/N3{0) < 1, полный эллиптический интеграл первого
рода К{^) можно разложить по малому параметру у' = (1 - ч2)1/2 =
Л^1(0)/(Л,'1(0) + + 7V3(0)) < 1:
Щ) * - (^V2)2 + In (4/Т')[1 + TV2 + 0((т")4)]- (40.18)
В результате получаем
(г^^г)172 In [iV3(0)/iV1(0)]/2F(c3(0)|. (40.19)
Величина, обратная х0, отличается от пространственного инкремента
распадной неустойчивости логарифмическим множителем, который определяет
длину, необходимую для того, чтобы малые начальные возмущения даже при
экспоненциальном росте достигли амплитуды исходной волны.
В этом случае также можно применить к анализу решения уравнения (40.1) в
области вблизи точки фазового синхронизма развитый выше подход. Пусть
точка фазового синхронизма находится в нуле (х(|) = = и'|). Тогда
аналогично (40.8) получаем при выполнении условий
U'/(iVi(0) + iV3(0)) I -1/2 " 1, d(U'|-1/2)/d!"l (40.20)
137
следующее выражение для плотности потока квантов ^i(|) усиливаемой волны:
iV.Cg) "iViCO) + Л^3(0) -
-7V3(0)sn2{[(3n(7V1(0) + 7V3(0))/2lx/|)1/2X ХСШуЛ/З)1^)-/^)]; ч>,
f '=Nt(0)/(N1(0) + Nlm. (40.21)
Если неоднородность сильная, то интенсивность волны с частотой о"!
нарастает лишь до точки gm = = (2л/21х/|)1/2, а затем происходит обратная
перекачка энергии. Максимальная плотность потока числа квантов Ni ша)С
достигается в случае, когда вся область синхронизма с размером 2|т =
2(3я/2|х'1)1/2 находится внутри нелинейной среды. Эта величина может быть
рассчитана по формуле
N^*N№+N,(0)--iV3(0)sn2{[2('3n(7V1(0) + N3(0))/2\y.'{)U2 X
ХС((п/2)1/г)-К^)1; ¦*}. (40.22)
Степень влияния неоднородности может быть оценена из сопоставления
характерной длины нелинейного взаимодействия = K{^)/{Ni{0) + N3(0))1/2 п
длины области фазового синхронизма 2%т = 2(Зя/2|я/1)1/2. Если
неоднородность достаточно слабая, так что |0 < 2|"" то возможно полное
преобразование энергии в низшие частоты, поскольку эллиптический синус в
(40.22) может стать равным нулю, при этом Nt mRX "N3(0). В
противоположном случае (|0 > 2|т) полное преобразование энергии не
осуществляется, так как на длине порядка 2|т начинается обратная
перекачка энергии, а максимальный коэффициент ее преобразования
определяется формулой (40.22).
В заключение мы сделаем несколько замечаний о границах применимости
формул, полученных выше. Если градиент неоднородности в области фазового
синхронизма достаточно велик, так что выполнены условия (40.7), (40.20),
то коэффициент преобразования энергии в новые частоты мал. Разложив
полученные выше решения с учетом (40.7), (40.20) по малому аргументу, мы
фактически придем к приближению заданной интенсивности. Так,
соответствующий предельный
138
переход в формуле (40.22) приводит нас к результату (см. (34.10),
(34.14), (34.15)), уже полученному в § 34 для линеаризованных уравнений
(С((л/2)1/2) "0,78).
§ 41. Стабилизация взрывной неустойчивости
Процесс нелинейного взаимодействия трех волн при участии волн с
отрицательной энергией может происходить качественно различным образом в
зависимости от соотношения частот в системе волн. Если частота волны с
отрицательной энергией не максимальна, то укороченные уравнения,
описывающие процесс, вполне аналогичны обсуждавшимся в предыдущих
параграфах. Однако при этом в системе, волн даже при низкочастотной
накачке возможен полный обмен энергией между низко- и высокочастотными
модами, что означает полный распад волны с низкой частотой [251.
Расстройки фазового синхронизма, вызванные неоднородностью, влияют на
этот процесс аналогично тому, как это описано в § 40.
В случае, когда волна с максимальной частотой является волной с
