Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
A(x) = ks - &i к%).
Рассмотрим сначала нелинейные процессы, в которых энергия преобразуется в
более высокие частоты. При этом на границу нелинейной среды подаются
волны с частотами cot и со2, а волна с суммарной частотой (c)з
генерируется. Такие процессы в нелинейной оптике принято называть
процессами смешения частот, а по терминологии, принятой в теории плазмы,
такие нелинейные взаимодействия волн называются нераспад-ными.
Систему уравнений (37.4) с учетом соо?ношений Мэнли - Роу (37.2) и
интегрального соотношения
(37.5) способом, аналогичным описанному в § 38, можно привести в
интегродифференциальному уравнению для плотности потока числа квантов
N3(%) с частотой со
dN3/d% = +2[N3{ml - N3){m2 - N3)]1/2 cos ["{iV3(?)}],
(40.1)
i ?
" {^3 (?)} = j К (h) dlг + (1/2) j dt, [(mi - NзГ1 +
0 0
^1
+ (m2 - NзГ1 - iV^1] j dt2x (t2) dN3/dt2. (40.2)
о
Выбор знака в уравнении (40.1), так же как и в (37.7), определяется
граничными условиями. Константы rrii и т2 определяются соотношениями
Мэнли - Роу (37.2).
133
Пусть 7V3(0) = 0, а NiiO) > N2{0), тогда ml = Nl(0), т2 = N2(0). Для
этого случая в уравнении (40.1) следует выбрать знак "плюс". Для простоты
здесь и ниже мы рассматриваем случай 0(0) = я./2, что соответствует
равенству нулю константы Г в (37.5).
Исследуем сначала решение (40.1), (40.2) вблизи точки фазового
синхронизма |е = 0 для неоднородности вида и = х'|. Уравнение (40.1)
удобно переписать в интегральном виде
j dg, cos а {^3(5,)}= f dN3/2 [Лг3 (т1 -
0 iVg( 0)
-N3)(ma-N3)]i'*. (40.3)
Это уравнение напоминает выражение (37.8) для случая Г = о = 0, лишь
вместо переменной | - длины нелинейной среды - стоит некоторое
интегральное выражение, играющее роль эффективной длины нелинейной среды.
Если среда однородна и расстройка фазового синхронизма равна нулю (х =
0), то из (40.3) получается уже известное нам решение (37.11), которое
для этого частного случая (Г = 0, N3e = N^0), N3b = N2{0), N3a - = 0, |о
= 0, 42 = N2(0)/Ni(0)) принимает вид:
7v3(|)=iv2(0)sn2[(iv1(0))1/2i; ih ^2(i)=^2(0)-/V2(0)sn2[(/V1(0)),/2i;
¦*], (40.4)
N,(1) =N,(0) -NM sn2 [(N,(0))1/2|; ¦*].
При малых - NzW/NiiO) < 1 решение (40.4) приближенно можно записать
следующим образом:
ЛГ,(|) * N2(0) sin2 [Ш0))1/2|]. (40.5)
Из (40.3) видно, что эффективная длина нелинейной
6
среды | cos [a {TV3 (J^)}] d^x тем меньше, чем сильнее
о
неоднородность.
Пусть градиент неоднородности велик, так что для
оценки интеграла j cos [a {iV3 (^)}] d^ можно приме-
o
нить метод стационарной фазы подобно тому, как это
134
было сделано в § 38. Проделав соответствующие вычисления, приходим к
следующему выражению для оценки этого интеграла вблизи точки стационарной
фазы:
1 1 J cos [a {yV3 j COS (x'gj/з) d\, =
0 0
= (Зя/21 x' I )1/2 C((|x' |/3)1/* I). (40.6)
Такая оценка интеграла в (40.4) может быть получена при выполнении
условий
(lx,l/7V1(0))-1/2" 1, d(|jt'|-1/2)/d!"l. (40.7)
Условия (40.7) аналогичны условиям (38.33), однако в отличие от
безразмерных величин ус', |, введенных в § 38, величины к и | в формуле
(40.8) имеют размерность. Введенные в § 37 и имеющие размерность
переменные Л^-(|), |, х(?) удобны для рассмотрения невырожденного
трехчастотного взаимодействия волн, ибо позволяют записать
соответствующие решения в общем виде независимо от соотношения частот
взаимодействующих волн.
Окончательно получаем с'учетом (40.3)-(40.5) при выполнении условий
(40.7) приближенное решение для #s(|)
iV.(^) "iV2(0)sn2[(3jbZV1(0)/2|5"'l1/*)C'(-(1"e'l/3)1/ssI); т].
(40.8)
Плотность потока квантов iVs(|) волны с суммарной частотой <b3 = coi +
<b2 вначале нарастает, достигая максимального значения N3m(%m), как . это
видно из
(40.5), (40.8), на расстоянии |т= (Ззх/21 >с"I)1/2, причем
* TV2(0) sn2[(3jtJVj(0)/21>с' 1) 1/2С((jt/2)1/2); Т],
(40.9)
.а затем происходит обратная перекачка энергии в вол-:ны с частотами cot
и <в2 с последующими осцилляциями.
При малых ~N2(0)/Ni(0) < 1 выражения (40.8), ^(40.9) упрощаются
аналогично (40.5)
ВД) *Лг2(0Ьщ2[(ЗлЛг1(0)/21х,|)1/2С((!х/|/3)П)],
(40.10)
135
iVai"(|J "JVs(0) 8т2[(ЗяЛЛ(0)/2|х'|)1/2С((я/2)1/2)].
(40.11)
Если плотности потока квантов волн с частотами toi, (о2 на границе
нелинейной среды одинаковы iV4(0) =
- N2(0)), то из (40.3), (40.6) получаем следующее выражение для iV3
(1):
JV3(g) =iV1(0)th2[(3jtiV1(0)/2|y/l)1/2 -C((W\/3)l/2l)].
(40.12)
Сравнение (40.12) с формулой (38.25) показывает, что этот частный случай,
так же как и при точном согласовании фазовых скоростей [1], вполне
аналогичен генерации второй гармоники.
Максимальный коэффициент преобразования энергии с повышением частоты
может быть оценен по формуле (область фазового синхронизма должна целиком
находиться внутри нелинейной среды)
W3m"(2U "iV2(0)sn2[2(3jtiV1(0)/2U,l)1/2C((n/2)i/2); у].
(40.13)
'Проанализируем теперь случай, когда волной накачки яв'ляется волна с
максимальной частотой: co3(JV3(0) > JVt(0), JV2(0) = 0). Этот случай
соответствует пространственному развитию обсуждавшейся в предыдущей главе
