Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
характера решения (38.18),
(38.19). При постоянных расстройках фазового синхронизма Ы = я0 - const)
выражение (38.19) полностью .соответствует формуле, полученной в [1]
разложением точного решения по малым | щ11 >С 1 при сильных расстройках
фазового синхронизма.
Заметим, что решение в виде (38.19), по существу, может быть получено
применением метода ВКБ к исходным уравнениям в приближении заданной
интенсивности
d2AJdt,2 + iK{t)dAJdl + А2 = О,
(38.20)
или d24Vd?2 + Ы2/4 - Ы72 + 1)Т = 0,
где ? = А,ехр j'и (?0 d^/2
Исследуем теперь решение уравнения (38.11) в области, окружающей точку
фазового синхронизма
?с (х(?с) =0), и рассмотрим случай равных нулю расстроек фазового
синхронизма на входе в нелинейную среду Ы(0)=0). Пусть неоднородность
носит линейный характер (и(?) = и'?). При выполнении условий 7(0)= 0,
и(?)=и'? уравнение (38.11) удобно пере-
писать в интегральном виде
/ (0 = th2 j I dt, cos [a {/ (&)}]}, (38.21)
lo J
f I I
a {/ (?)} = x' j kdk + j d^ [1/(1 - / (?,)) -lo 0
-1/2/(?0] / d^2d//d?2J. (38.22)
Если Ы'|>1 (большой градиент неоднородности в области фазового
синхронизма), интеграл в (38.21) под знаком гиперболического тангенса
можно оценить методом стационарной фазы. Точка стационарной фазы
определяется из уравнения d [a (Q]/d? |^=^с = 0, откуда следует = 0.
Таким образом, эта точка, об-
124
ласть вблизи которой дает основной вклад в интеграл в (38.21), совпадает,
что вполне естественно, с точкой фазового синхронизма ?<= = 0 (х(0) =0).
точностью до членов порядка (Ы'|)_1/2<1 методом стационарной фазы не
требуется полной информации
о функции а{7(5)), достаточно знать лишь производную этой функции в
точке стационарной фазы d2a/<2?2\i=ic. Эту величину нетрудно вычислить,
разлагая выражения (38.21), (38.22) по малым 5 <К 1 вблизи 5с = 0.
Произведя соответствующие вычисления, приходим к следующему приближенному
выражению для интенсивности:
Решение (38.23) также можно записать в удобном виде, использовав косинус-
интеграл Френеля [19]:
Максимальная эффективность генерации второй гармоники в линейно-
неоднородной среде, где безразмерная расстройка фазового синхронизма
имеет вид х(5) = х'5, достигается на расстоянии 5т от входа в нелинейную
среду, определяемом из уравнения (38.12). На расстояниях 5, больших 5т,
происходит обратная перекачка энергии в основное излучение и
интенсивность второй гармоники падает. Решая (38.12) с учетом (38.25),
нетрудно вычислить расстояние от границы нелинейной среды 5т, на котором
достигается максимальный КПД /т(5т) генерации второй гармоники:
Следует заметить, что приближенное решение (38.25) справедливо лишь в
ограниченной области (151 ~ 5т) вблизи точки фазового синхронизма, по-
Для вычисления интеграла
о
/(P"th2 j dh cos (х'Й/3) . (38.23)
t
С (t) = 2 j cos tldt^i2n)i/2, (38.24)
0
7(5) "th2{(3n/2U'|)1/2C[5(U'l/3)1/2]}. (38.25)
5m " (Зл/21х'|)'/2, (38-26)
7m(5m) "th2[(3jt/2U'|)1/2C((n/2)1/2)]. (38.27)
(38-26)
125
скольку используется разложение функции вблизи точки стационарной фазы;
при дальнейшем увеличении ? существенно увеличивается расстройка фазового
синхронизма х(?) и колебания интенсивностей первой и второй гармоник
носят затухающий характер. Эти колебания приближенно описываются формулой
(ср. (38.16), (38.18), (38.19))
2 sin ( j х (У dy 2 -f 0О1 /с (?)
/ " /т/2 -f- th2
(1"(0|)-1<1. (38.28)
где 0О - некоторая постоянная добавка к фазе, определяемая начальными
условиями.
Аналогичным образом нетрудно получить решения в виде интегралов от
известных функций для любой неоднородности х(?) при условии, что точка
фазового синхронизма находится в начале нелинейной среды (х(0)=0); задача
сводится в этом случае к вычислению второй производной а"(0) функции
а{/(?)} в точке стационарной фазы.
Для неоднородностей степенного вида х(?)=х'?р КПД генерации второй
гармоники вблизи точки фазового синхронизма описывается следующим
выражением:
/ (?) " th2 J j d& cos [x'tf+7(P + 2)] j, (38.29)
*(?) =
Максимальное значение КПД /т(?т) в средах с неоднородностью вида
>с(?)=>с/?р достигается на длине ?т, равной
U~[(? + 2b/2|x'|]1/(p+1>, (38.30)
7m(U~th2| j d^ cos [(x'?i+1)/(p -f 2)]J. (38.31)
Аналитические решения для случая не равных нулю на входе в нелинейную
среду расстроек фазового синхронизма (х(?) = х0 + х%) могут быть получены
способом, близким к описанному выше. Мы не будем приводить здесь
соответствующие громоздкие выкладки, а обсудим лишь вопрос об оптимальных
расстрой-
126
ках фазового синхронизма на входе в нелинейную среду Xopt, обеспечивающих
максимальные значения КПД генерации второй гармоники /тах в нелинейной
среде с заданной неоднородностью. Этот вопрос является важным, например,
для проблемы повышения КПД оптических удвоителей частоты света.
КПД генерации второй гармоники /(?, х0, х') в линейно-неоднородной среде
зависит от безразмерной длины нелинейной среды С = Whi, расстройки
фазового синхронизма на входе х0 = Д((ШНЛ и параметра к ,
