Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Засланский Г.М. -> "Взаимодействие волн в неоднородных средах" -> 23

Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.

Засланский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах — М.: Мир, 1982. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): vzaimodeystvievolnvneodnorodnih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 55 >> Следующая

3?4 начинаются соответственно в точках аи а2, затем спускаются на
действительную ось, идут вдоль нее и заканчиваются соответственно в
точках Ьи Ъ2. Контуры S2 аналогичны контурам &и 3?2 с заменой аи а2 на
Ь±, bz и А на В. Выражения для ри рг вблизи Ои Ог переходят
соответственно в wu w2.
Нетрудно убедиться в т.ом, что определенные в (25.18) величины Фь Ф2, Ф3
чисто действительные. Рассмотрим, например, Ф2. На действительной оси,
где
"2
контуры Sз и 3?4 совпадают, интеграл j (р2 + р2) &У чисто действительный.
Кроме того,
j" (z + ia)1/2dz = (гя)3/2, j" (z - ia)1/2dz = (- ia)3/\
О 2 Gj
откуда сразу следует высказанное утверждение.
§ 26. Задача о прохождении
В этом параграфе мы рассмотрим задачу о прохождении волны через
резонансную зону на примере уравнения Орра - Зоммерфельда (см. гл. I, §
4)
ivA2cp + [м - kv0 (я)] Дф + kvlq> = 0, (26.1)
где Д = dz/dx2 - к2.
80
В § 25 для получения правил квантования использован метод фазовых
интегралов, дополненный методом неопределенных множителей Цвана. Однако,
как уже отмечалось выше, такой подход не всегда позволяет однозначно
продолжить решение в окрестности резонансной точки. Именно так обстоит
дело в задаче о прохождении волны через зону взаимодействия. Более удобен
метод, предложенный Вазовым, который основан на преобразовании Лапласа
[3]. Изложим этот метод, следуя А. В. Тимофееву [13J. В окрестности
резонансной точки уравнение (26.1) принимает вид:
Л-уу + V' +ф = 0, (26.2)
где z = (х, - х) v"Jv0, A = ik {v'0)4/v {v0)3.
Используя преобразование Лапласа, представим решение уравнения (26.2) в
виде
Ф = j" dt ехр (tz) W (t). (26.3)
Подставляя это выражение в исходное уравнение
(26.2), получим Wi.t) = t~2 ехр it3/ЗА - 1 /t).
Достаточно далеко от особой точки, в области, где выполнены условия
A>max{|z|~3, Ы-1}, (26.4)
получаем асимптотические решения двух типов (быстро и медленно
меняющиеся)
Ф+= [ t~2 ехр (t2/3A -|- tz) dt, (26.5)
Ф_ = |^_2ехр(-1 !t-\-iz)dt. (26.6)
Контуры интегрирования выбираются из условия обращения в нуль либо
совпадения значений на его концах присоединенной билинейной формы iW(i)
ехр (iz) [17]. Соответствующие контуры интегрирования изображены на рис.
12. На этом рисунке заштрихованы секторы, в которых величина Re (?3/ЗЛ)
положительна.
Рис. 12 приведен для случая, когда argA = 0. При arg Ат4 0 вся картина
должна быть повернута на угол arg Л/3. Учитывая, что каждому контуру
соответствует свое решение, мы получаем таким образом всего семь
81
Рис. 12. Контуры интегрирования в (26.3) при argA=0.
частных решений уравнения (26.2). Обозначим их через V, Ah, Uk (к = 1, 2,
3). Конечно, только четыре из них являются линейно-независимыми. Согласно
теореме Коши (о том, что интеграл по замкнутому контуру от регулярной
функции равен нулю [17]), непосредственно из рисунка легко установить три
недостающие связи между решениями:
At + Az + A^.V, и3-иг = Аи С/1-С/3 = Л2-7.
(26.7)
82
•Медленно меняющаяся фущщия V, определяемая интегралом (26.6) по
замкнутому контуру, выражается через функцию Бесселя
V = 2mzi/2Il(2zi/2). (26.8)
Эта функция неоднозначна. Многозначность проистекает от наличия в ее
выражении радикала z1/2. Если в комплексной плоскости z провести разрез,
запрещающий обход точки ветвления z = 0, то функция V становится
однозначной. При |z| > 1 она имеет следующие асимптотические
представления [151:
V - я1/2г1/4[ехр (2iz1/2 - in/А) - ехр (-2iz1/2 + гя/4)],
-2я < arg z < 2л, (26.9)
V = я1/2г1/4[-ехр (2izl/2 - гя/4) - exp'(2iz1/2 + гя/4)],
(}<argz<4jt. (26.10)
Нетрудно убедиться, что значения функции V при а^г = ф и а^г = ф + 2я
совпадают и различаются лишь ее представления.
< arg z < 2я, где применимы оба выражения
(26.9), (26.10), они различаются на экспоненциально малую величину,
которая не превосходит ошибки, допускаемой асимптотическим
представлением. Мы будем использовать (26.9) при 0 si arg z < я и
(26.10) при я<а^г<
< 2я. Разрез проведем при а^г = 2я-е, е-"-0, на рис. ДЗ он изображен
волнистой линией.
Быстро меняющиеся функции Ак (26.5) определяются методом перевала. На
контуры А3 и At при 0<argz<
< 2я попадает одна
Заметим, что в секторе 0 <
Рис. 13. Плоскость комплексного переменного z для уравнения (26.2) при
argA=0, Сд - линии действительной фазы для бы-строосциллирующих решений
Аь.
83
перевальная точка tc = - ?(Az)1/2. На контур Л2(2л/3 <
< arg z < 8л/3) также попадает лишь одна перевальная точка tc =
?(Az)i/2. Учитывая это, находим
А, = jt1/2A"s/iz_5/i exp (- 2iA1/2z3/2/3 - ш/4),
4я/3 < arg z < 10л/3, (26.11)
4, = -n,/2A~3/4z-5/4 exp (2iA1/2z3/2/3 + "я/4),
2я/3 < arg z < 8it/3, (26.12)
A, = n1/2A~3/4z-5/4 exp (-2iAi/2z3/2 - in/4),
0<argz<2n. (26.13)
Имеющие физический смысл решения не должны меняться по величине при
изменении argz на 2л. В соответствии с этим выражения (26.11) - (26.13)
позволяют определить функции Ак при любых значениях argz, кроме argz =
2я(1 - к/3) + 2яга, т. е. (26.11) -
(26.13) определяют функции Ah во всей плоскости, кроме линий
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 55 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed