Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
параметра а/§2. Если а/р2 < 1, то, как видно из (25.4), расстояние между
точками пересечения решений мало по сравнению с длиной волны
пересекающихся решений. Только этот случай исследовался при изучении
пуазейлевского течения
[9], а также в связи с другими физическими задачами
[10]. При этом связь мёжду решениями ф1,2 и ф3,4 осуществляется только в
первом порядке по а/$2 (слабая связь). Финитным решениям в
рассматриваемом случае соответствуют следующие правила квантования
[11]:
о2
| (U2/af>)1/2dx = (га -f- 1/2) я,
(25.6)
f (U^U^dx = (га + 1/2) я.
"2
Качественно новая картина возникает при а/[32 > 1. В этом случае вокруг
каждой точки пересечения решений всегда можно выделить такую область в
комплексной ^-плоскости, где справедливо "квазиклассиче-ское" приближение
(25.2), (25.3) для решения (25.5). Очевидно, что вблизи указанных точек
решение типа
(25.2) может уже в нулевом приближении трансформироваться в решение
типа (25.3) и наоборот (сильная связь).
Рис. 10. Выбор формы потенциалов для уравнения Орра - Зом-мерфельда.
76
Решения уравнения (25.5) получим, применяя метод Лапласа:
ф(г/) =j t~2 exp (yt - a$~zt3/3U + UJtTJ)dt, (25.7)
где интеграл берется в плоскости комплексного переменного по контуру, на
концах которого функция ехр (yt-af/ЗЩ2 + UJtU) обращается в нуль.
Решение (25.7), как и уравнение (25.5), справедливо в области у < р-1.
При
К У < Р"1 (25-8^
для вычисления (25.7) можно воспользоваться методом перевала и получить
следующие четыре линейно-независимые решения:
Фг (У) ~ я1/г y-^UjU'q* - aqJ^U)-viq~* X
X ехр J ~qi (у) dy (i = 1,2, 3, 4), (25.9)
где
Ь, 2 = ±{§2U/2a)U2[y - (у2 - 4a?/1/p2?/2)1/2J1/2, -(25.10)
qlt 4 = ±($21//2а)иЧу + (у2 - 4at/1/p2t/2)1/2]1/2.
Используя (25.10), получаем решения (25.9) в виде
Ч - ~ у.
Ф1.2 ~ (?i)~1/4 ехр j qi (у) dy, Фз>4 - (qi) ехр q{ (у) dy,
(25.11)
которые соответственно переходят в (25.2) и (25.3). Точкам пересечения
решений соответствует
j/o = ia = ±(4a[/1/^t/2)i/2> (25.12)
Из (25.12) и (25.8) следует, что при а/р2>1, в согласии со сказанным
ранее, точки у0 всегда могут быть окружены, областью, где можно
воспользоваться решением (25.9), переходящим в квазиклассические решения
(25.2) и (25.3). В непосредственной близости от точек у0 контуры в
плоскости t, соответствующие линейно-независимым решениям (25.5), не
разделяются и необходимо дополнительное исследование характера решений в
точках у0. Нас, однако, этот вопрос не интересует, поскольку для
получения квазиклассических правил квантования достаточно знать правила
обхода
77
± [у- (у2 + а2)1/211/2
J
±[у+(у2+а2)1/2]1/2 =
точек у о в комплексной .г-плоскости.
Воспользуемся представлением:
± 2_1/2 [(у + iaf" -
- (y - ia)1'2, у> 0;
±i2-1/2{([y\+iaf2-
- (\y\ - ia)i/2, у< 0;
±2-1/*[(y+iaf* + (y-iaf2},
У> о,
±i2-1/2[(|j/| + ia)1/2+.
+ (|ff| - ia)l/2],y<0.
После этого решения (25.2), (25.3) для (25.5) записываются в виде
(w1 - w2)~1/2 ехр{± i f (Wl (у) - w2 (у)) dy](у > 0),
ф1'2= v
(w± - w2)~112 exp{± |К(|г/|) - ^2(|г/|))йг/|(г/<0);
(25.13)
(и?! + w2)~5'2 ехр {± j (w1 (у) + w2 (у)) dy] (у > 0), (117!+
w2)~5/2exp{± i j К(|г/|))+^2(|г/|))йг/}(г/<0),
Фз,4
где
B7t = [puiy - ia)/2a)l/2, w2 = lpU{y + ia)/2aYn.
Пользуясь формулами (25.13), можно построить картину линий уровня wu w2
для каждой из точек пересечения решений отдельно (рис. 11)2). Правила
сшивания решений (25.13) вблизи точки Oi получим следующим образом. Из
(25.13) видно, что можно обходить отдельно в комплексной г/-плоскости
вокруг точек at ='ia и а2 - -ia. Пары решений (q>i, ф4) и (ф2, ф3) при
обходе вокруг а4 и пары (ф4, ф3) и (ф2, ф4)
2) Смысл всех обозначений и букв, не оговариваемых в тексте, ясен из рис.
11.
78
Рис. 11. Линии уровня для уравнения Орра - Зоммерфелъда.
при обходе вокруг аг ведут себя независимо. 'Обозначим через Аг, Bh Ct,
Dt систему коэффициентов решения при ф4, ф2, ф3, ф4 соответственно вблизи
линий с номером i, выходящих из точек аи аг. Пользуясь при обходе вокруг
каждой точки в отдельности правилами, описанными в гл. II [12], получаем
после одновременного обхода а{, а2
А2 = Al-f- Ш15 В2 = В1-\- Wu С2 = iAx -j- iB1 -{-Ci - Di, D2 = Di,
A2 + iC2,Bз - B2 +-iCa, C3 - C2,
iB 2 - C2 ¦
D2,
(25.14)
¦^i - -^з + iD3, Bi - B3 -f- iD3,
Ci = iA3 -f- iB3 + C3 - D3, Di - D3,
A[ = - Bi, B[ = - Ax, C[ = - Di, D[ = - Ci.
Слева от точки А запишем произвольное решение, обращающееся на -в нуль:
Ф = I wi - w2 Г1/2 ехР -*'J (У) dy+i\w2 (у) dy\ +
I- А А I
j У У 1
Л- D\iVi-{- w2 j~5/2exp || Wi(y)dy + j w2(y)dyj. (25.15)
Используя (25.13)-(25.15) и требуя финитность решения на +°° получаем
следующие правила кван-
79
тования:
Ф1 + Ф2 + Ф3 = (ге+1/2) л, Ф1 = г j pjdz-i j p^dz,
2 a
Ф2 = f pxdz + j p2dz, Ф3 = - г f p^z+A p2dz, ^3 s' S'%
(25.16)
где px = У(j32/2ct) (U2 - V4a?/1/|32), p2=Y(P2/2oc) X X (u2 + ушШ-
Здесь контуры 3? u 3?г начинаются из точки А, идут вдоль действительной
оси и заканчиваются: контур в точке аи а &г - в точке а2. Контуры 3?ц,
