Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
с фазовой скоростью волны.
Впервые исследование решений в окрестности резонансной точки было
проведено Вазовым [3] на основе метода Лапласа. Заметим, что для
рассматриваемых уравнений метод ВКБ, дополненный методом неопределенных
множителей Цвана, позволяет получить правило квантования [4], но на
основе метода ВКБ нельзя однозначно связать решения по разные стороны от
резонансной точки. Более удобен метод Лапласа, позволяющий однозначно
продолжить решение в резонансной зоне.
Представим уравнение четвертого порядка с линейными коэффициентами при
членах с нулевой и второй производной в виде системы двух уравнений
второго порядка, соответствующих связанным осцилляторам:
ai + kiai = aia2,
" I 02 1т\ ' ("4.2)
"2 + \кгх/L) a2 = a2ai) cci = - а2 = а. -
Система (24.2) аналогична системе уравнений, рассматривавшейся в
предыдущей главе в связи с неадиабатическими взаимодействиями в квантовой
механике. Отличие состоит в том, что в данном случае правые части имеют
противоположные знаки.
Если в системе (24.2) исключить а2, то мы придем к уравнению четвертого
порядка с линейными коэф-
73
фициентами
+ (А? + xklL-1) а[ + (xk\k\L-1 + а2) = 0. (24.3)
Это уравнение подробно исследовано в работах Ерохина и Моисеева [5]-[7] с
помощью метода, предложенного Вазовым [3]. Анализируя задачу о
прохождении барьера длинноволновой модой (на основе уравнения
(24.3)), они обнаружили, что при определенных условиях коэффициент
прохождения может достигать единицы. Прц этом длинноволновая мода целиком
преобразуется в коротковолновую (возможен, конечно, и обратный процесс).
Этот эффект был назван аномальной трансформацией.
Решение системы (24.2) можно искать методом ВКБ. Тогда для
квазиклассического волнового вектора получим
2д± = А? + хк1Ь~г ± [(к\ - к\я*Ь~2)2 - 4а2]1/2. (24.4)
Нетрудно видеть, что с учетом взаимодействия ~а,
уменьшается разность д% - q~. Это означает, что в отличие от
квантовомеханического случая взаимодействие волн приводит не к
расщеплению квадратов волновых
векторов <?+ (являющихся аналогом термов), а к их сближению.
Если бы на" интересовала только задача о прохождении волны через
резонансную зону, то уравнение
(24.3) можно было бы решить исходя из эквивалентной системы (24.2)
так же, как в предыдущей главе, понижая порядок системы с помощью
преобразования Фурье. В работе [8], посвященной неадиабатическим
переходам в квантовой механике, система (24.2) (при
a.i = щ) решалась именно таким способом. Однако, используя такой метод
решения, мы не получаем полной системы частных решений рассматриваемой
задачи в отличие от метода Вазова, позволяющего получить полную систему
частных решений. К сожалению, метод Вазова развит пока только для
уравнений четвертого порядка, между тем далеко не всякую систему двух
уравнений второго порядка можно свести к эквивалентному уравнению
четвертого порядка.
74
§ 25. Правила квантования
Классическим примером уравнения со знакопеременным коэффициентом при
второй производной является известное в теории гидродинамической
устойчивости уравнение Орра - Зоммерфельда [9], содержащее малый параметр
при четвертой производной. Нас будет интересовать в случае
слабонеоднородной среды дифференциальное уравнение
где к, (о - соответственно волновой вектор и частота волны; р - малый
параметр "квазиклассичности", учитывающий слабую неоднородность по х; а -
малый параметр, связанный с конкретной постановкой задачи (в уравнении
Орра - Зоммерфельда, например, а пропорционально вязкости); Uu U2~ 1, за
исключением малых областей вблизи точек, где ?Л и U2 обращаются в нуль.
Отметим, что применяемый в данном параграфе метод ВКБ нарушается не
только вблизи точек, где Ul = 0 (вблизи таких точек волновой вектор двух
из четырех линейно-независимых решений (25.1) становится малым), но также
и вблизи точек, где U2 = 0. В связи с этим возникает задача при учете
указанных особенностей получить правила нахождения собственных частот
("правила квантования") для финитных решений (25.1).
Для удобства выберем конкретный вид Uu U2 (рис. 10). Решения (25.1) вдали
от точек поворота А, В, Ои 02 отыскиваются в виде асимптотического ряда
по малому параметру ?1/2
afkplv - $U2{x, к, со)ф" + Ui(x, к, со)ф = 0, (25.1)
X
(25.2)
X
фз,4 = const • q3 Д/2. ехр
(25.3)
где *> дг,2 = ± [СУ2" - (t/2/4a2 - (25 4)
<7з,4 = ± [?У2" + а2 - UJа)1/2]1/2.
Выражения- (25.4) для предэкспоненциальных множителей справедливы при х >
а'1'.
Для получения решения вблизи точек, где U2 = 0, полагаем U2 = = Ux{U ~
1), х = рг/. Это приводит к уравнению
оф_2ф1? - Uyq>" +
+ ?/,ф = 0. (25.5)
Нетрудно видеть, что вблизи точки, в которой U2 == 0, существуют точки,
где соответственно qi = q3, qz = qi (точки "пересечения" решений). Вблизи
указанных точек строгое разделение "нормальных" решений (25.2) и (25.3)
между собой, вообще говоря, невозможно - они "трансформируются" друг в
друга.
Физическая картина решения задачи существенно зависит от величины
